ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — теория чисел

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22%.

a) Может ли в этом классе быть 4 девочки?

б) Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.

a) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?

б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?

в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1,m_2$ и $m_3$ так, что $m_1⩾m_2⩾m_3.$ Найдите такое наименьшее число $d,$ что $m_1-m_2⩽d$ и $m_2-m_3⩽d.$

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1010 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых оканчивается семёркой, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.

a) Может ли у Полины получиться число 3?

б) Может ли у Полины получиться число 17,5?

в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Есть 10 монет по 2 рубля и 33 монеты по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 183 рубля?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 184 рубля?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 190 рублей включительно?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 4, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 3 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 222 меньше суммы получившихся чисел

б) Может ли количество чисел на доске равняться 32, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна 0, и сумма чисел на доске меньше 1509?

Имеется $1000$ монет, среди которых $n$ монет достоинством $2$ рубля и $(1000-n)$ монет достоинством $5$ рублей ($n$ — натуральное число, $1⩽n⩽999$). Известно, что сумма любых $300$ монет, взятых случайным образом, должна превышать четверть от общей суммы всех монет.

а) Возможно ли, что $n=100$?

б) Возможно ли, что $n=500$?

в) Сколько различных значений может принимать $n$?

Есть 13 монет по 2 рубля и 25 монет по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 149 рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 150 рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 156 рублей включительно?

В ящике лежат $65$ овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна $1000$~г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше $1000$ г, равна $982$ г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше $1000$ г, равна $1024$ г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше $1000$ г и овощей массой больше $1000$ г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно $13$ овощей, масса каждого из которых равна $1000$ г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?

б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с пятёрки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.

а) Может ли у Полины получиться число $2$?

б) Может ли у Полины получиться число $15,5$?

в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Дано трёхзначное натуральное число (запись которого не может начинаться с нуля), не кратное $100$.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $70$?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $81$?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60.$ При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 3. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а) Может ли общее количество карт быть равным 6?

б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на 30 штук?

в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\frac{1}{3}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\frac{9}{19}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

a) Могло ли быть в группе 14 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и 6?

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых оканчивается тройкой, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.

a) Может ли у Полины получиться число 2?

б) Может ли у Полины получиться число 19,5?

в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных натуральных чисел от 27 до 90 включительно и находит их произведение (если выбрано только одно число, то произведением считается само это число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу и находит произведение полученных чисел.

а) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины?

б) Может ли результат у Юры оказаться в четыре раза больше, чем у Полины?

в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?

Есть 18 монет по 2 рубля и 25 монет по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 159 рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 160 рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 170 рублей включительно?

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется $k$ кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+2$ кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком — больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли $k$ быть равно 3?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с тройки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.

а) Может ли у Полины получиться число $3$?

б) Может ли у Полины получиться число $13,5$?

в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Юра и Полина играют в числа. Полина выбирает несколько различных натуральных чисел от $25$ до $75$ включительно и находит их произведение (если выбрано только одно число, то произведением считается само это число). Юра к каждому числу, выбранному Полиной, прибавляет единицу и находит произведение полученных чисел.

a) Может ли результат у Юры оказаться в два раза больше, чем у Полины?

б) Может ли результат у Юры оказаться в пять раз больше, чем у Полины?

в) В какое наибольшее целое число раз результат у Юры может быть больше, чем результат у Полины?

Юра и Полина играют в игру с числами. Юра выписывает на доску $5$ различных натуральных чисел и находит их среднее арифметическое. Полина выбирает $2$ числа из чисел Юры и находит их среднее арифметическое. Далее она выбирает третье число из чисел Юры и находит среднее арифметическое между первым полученным ей результатом и выбранным числом. Далее она находит среднее арифметическое полученного результата и четвертого нового числа из написанных Юрой. Наконец, она находит среднее арифметическое полученного результата и оставшегося числа, написанного Юрой.

а) Могут ли результаты у Юры и Полины получиться одинаковыми?

б) Может ли результат Полины быть в $3$ раза больше, чем у Юры?

в) В какое максимальное натуральное число раз результат Полины может быть больше, чем у Юры?

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий: — умножить число на $4$; — прибавить к числу $12$; — если число не равно $9$, то вычеркнуть из числа цифру $9$. Затем ученик записывает новое число на доску.

а) Можно ли за несколько действий получить из числа $47$ число $2$?

б) Можно ли за несколько действий получить из числа $7$ число $77$?

в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2015$, может быть записано на доске, если $N=1$?

На доске в одну строку слева направо написаны $n$ натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.

а) Могли ли при $n=3$ на доске быть написаны ровно $10$ цифр (например, если на доске написаны числа $5$, $25$ и $625$, то написаны ровно $6$ цифр)?

б) Могли ли при $n=3$ на доске быть написаны ровно $12$ цифр?

в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при $n=4$, если на доске написано ровно $22$ цифры?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 4 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 5 и увеличивают цифру в разряде единиц на 5. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 224 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 30, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1801?