ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Сумма всех монет равна

$$13\cdot 2+25\cdot 5=26+125=151.$$

а) Возьмём $12$ монет по $2$ рубля (у нас их $13$) и все $25$ монет по $5$ рублей:

$$12\cdot 2+25\cdot 5=24+125=149.$$

Ответ: да.

б) Предположим, что набрали $150$ рублей. Тогда невзятые монеты дают в сумме $151-150=1$ рубль. Но если не взяли ни одной монеты, их сумма $0$, а если взяли хотя бы одну, она не меньше $2$ (самая мелкая монета — $2$ рубля). Противоречие. Ответ: нет.

в) Пусть добавили $k$ рублёвых монет.

Оценка. Сумма $156$ должна набираться, а значит, все монеты вместе дают не меньше $156$ рублей: $151+k⩾156$, откуда $k⩾5$.

Пример. Покажем, что пяти рублёвых монет достаточно.

Сначала заметим, что монетами по $1$ и $2$ рубля (их $5$ и $13$) можно набрать любую сумму $u$ от $0$ до $31$:

• чётную $u⩽26$ — монетами по $2$ рубля, их нужно $\frac{u}{2}⩽13$;
• нечётную $u⩽25$ — одной рублёвой монетой и $\frac{u-1}{2}⩽12$ монетами по $2$ рубля;
• $u$ от $27$ до $31$ — всеми $13$ монетами по $2$ рубля (это $26$ рублей) и $u-26$ рублёвыми монетами, а $u-26$ от $1$ до $5$.

Теперь наберём любую сумму $s$ от $1$ до $156$:

• если $s⩽125$, разделим $s$ на $5$ с остатком: $s=5t+u$, где $t⩽25$ и $0⩽u⩽4$. Берём $t$ пятирублёвых монет и набираем $u$ рублёвыми и двухрублёвыми;
• если $126⩽s⩽156$, берём все $25$ пятирублёвых монет ($125$ рублей), а остаток $u=s-125$ от $1$ до $31$ набираем рублёвыми и двухрублёвыми.

Значит, с пятью рублёвыми монетами набирается любая сумма от $1$ до $156$ рублей.

Ответ: а) да; б) нет; в) $5$.