ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Всего у нас $18\cdot 2+25\cdot 5=36+125=161$ рубль.

а) Да, можно. Возьмём $17$ монет по $2$ рубля и все $25$ монет по $5$ рублей:

$$17\cdot 2+25\cdot 5=34+125=159.$$

б) Нет, нельзя. Пусть взято $p$ монет по $2$ рубля и $q$ монет по $5$ рублей, и $2p+5q=160$. Числа $160$ и $2p$ чётные, поэтому $5q$ чётно, то есть $q$ чётно. Так как $q⩽25$, получаем $q⩽24$. Тогда

$$2p+5q⩽2\cdot 18+5\cdot 24=36+120=156<160$$

— противоречие.

в) Оценка. Чтобы набрать $170$ рублей, все монеты вместе должны давать не меньше $170$ рублей. Без рублёвых монет у нас $161$ рубль, значит, рублёвых монет нужно не меньше $170-161=9$.

Пример. Добавим $9$ монет по $1$ рублю. Разложим все монеты на $17$ кучек по $10$ рублей:

• $24$ монеты по $5$ рублей — в $12$ кучек по две монеты;
• $15$ монет по $2$ рубля — в $3$ кучки по пять монет;
• одна монета $5$ рублей и пять монет по $1$ рублю — в одну кучку;
• оставшиеся $3$ монеты по $2$ рубля и $4$ монеты по $1$ рублю — в последнюю кучку.

Проверим: монет по $5$ рублей $24+1=25$, по $2$ рубля $15+3=18$, по $1$ рублю $5+4=9$ — использованы все.

Сумму $170$ рублей даём всеми монетами. Пусть нужна сумма $S⩽169$. Запишем $S=10q+r$, где $0⩽r⩽9$, тогда $q⩽16$. Часть $10q$ набираем из $q$ первых шестнадцати кучек, а остаток $r$ — из последней кучки (три двойки и четыре единицы):

$$\begin{array}{rlrlrl}& 1=1,& & 4=2+2,& & 7=2+2+2+1,\\ & 2=2,& & 5=2+1+1+1,& & 8=2+2+2+1+1,\\ & 3=2+1,& & 6=2+2+2,& & 9=2+2+2+1+1+1.\end{array}$$

Значит, с $9$ рублёвыми монетами можно набрать любую сумму от $1$ до $170$ рублей.

Ответ: а) да; б) нет; в) $9$.