ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть Полина выбрала числа $a_1,a_2,\dots ,a_k$. Её результат $P=a_1\cdot a_2\cdot \dots \cdot a_k$, а результат Юры $Q=(a_1+1)(a_2+1)\cdot \dots \cdot (a_k+1)$. Найдём, во сколько раз результат Юры больше:

$$\frac{Q}{P}=\frac{a_1+1}{a_1}\cdot \frac{a_2+1}{a_2}\cdot \dots \cdot \frac{a_k+1}{a_k}=\left(1+\frac{1}{a_1}\right)\left(1+\frac{1}{a_2}\right)\cdot \dots \cdot \left(1+\frac{1}{a_k}\right).$$

Каждое выбранное число даёт свой множитель $1+\frac{1}{a_i}$.

а) Да, может. Пусть Полина выбрала все числа от $27$ до $53$. Тогда

$$\frac{Q}{P}=\frac{28}{27}\cdot \frac{29}{28}\cdot \frac{30}{29}\cdot \dots \cdot \frac{54}{53}.$$

Числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей, остаются только знаменатель первой и числитель последней:

$$\frac{Q}{P}=\frac{54}{27}=2.$$

б) Нет, не может. Каждый множитель $1+\frac{1}{a_i}$ больше $1$. Если Полина не выбрала какое-то число от $27$ до $90$, то, добавив его, мы домножим отношение на число больше $1$, и отношение увеличится. Значит, при любом выборе отношение не больше, чем при выборе всех чисел от $27$ до $90$:

$$\frac{Q}{P}⩽\frac{28}{27}\cdot \frac{29}{28}\cdot \dots \cdot \frac{91}{90}=\frac{91}{27}=3\frac{10}{27}<4.$$

Результат Юры не может быть в $4$ раза больше.

в) Оценка. В пункте б) доказано, что $\frac{Q}{P}⩽3\frac{10}{27}<4$. Значит, целое число раз не может быть больше $3$.

Пример. Пусть Полина выбрала все числа от $27$ до $80$. Так же, как в пункте а), дроби сокращаются цепочкой:

$$\frac{Q}{P}=\frac{28}{27}\cdot \frac{29}{28}\cdot \dots \cdot \frac{81}{80}=\frac{81}{27}=3.$$

Наибольшее целое число раз равно $3$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $3$.