В ящике лежат овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна ~г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше г, равна г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше г, равна г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше г и овощей массой больше г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно овощей, масса каждого из которых равна г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Пусть в ящике овощей массой меньше г («лёгкие»), овощей массой больше г («тяжёлые») и овощей массой ровно г. Средняя масса всех овощей г, поэтому их общая масса г. Масса лёгких равна , тяжёлых — , поэтому
Раскроем скобки: , то есть , или
Так как и взаимно просты, делится на : , тогда , где — целое неотрицательное. Если , то лёгких и тяжёлых овощей нет и все овощи весят по г, а по условию есть овощи разной массы. Значит, .
а) Нет, не могло. Если , то из получаем , , то есть — противоречие.
б) Нет, не могло. Если овощей массой г ровно , то . Но , а не делится на — противоречие.
в) Оценка. Самый лёгкий овощ — среди лёгких, ведь они легче г. Так как , получаем . Лёгких овощей , их общая масса г. Все лёгкие овощи, кроме самого лёгкого, весят не больше г (масса — целое число граммов, меньшее ). Поэтому масса самого лёгкого овоща не меньше
Пример. Возьмём : лёгких овощей — один массой г и по г; тяжёлых овощей по г; овоща по г. Всего овощей, есть овощи разной массы. Проверим средние:
средняя масса тяжёлых равна ; общая масса
то есть средняя масса всех овощей г. Все условия выполнены.
Ответ: а) нет; б) нет; в) г.