ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Числа попарно взаимно просты. Отсюда два полезных факта:

• чётных чисел среди них не больше одного (два чётных числа имеют общий делитель $2$);
• чисел, кратных $3$, среди них не больше одного (два таких числа имеют общий делитель $3$).

а) Да, может. Пример: $1,2,3,5,7,13,19$. Числа различны, все, кроме $1$, простые и разные, поэтому никакие два не имеют общего делителя, большего $1$. Сумма

$$1+2+3+5+7+13+19=50.$$

б) Нет, не может. Чётных чисел не больше одного.

Если чётное число есть, то остальные шесть чисел нечётны. Сумма шести нечётных чисел чётна, и вместе с чётным числом сумма всех семи чётна, а $47$ нечётно — противоречие.

Если чётных чисел нет, то все семь чисел — различные нечётные. Их сумма не меньше суммы семи наименьших нечётных чисел:

$$1+3+5+7+9+11+13=49>47$$

— снова противоречие.

в) Оценка. Назовём особыми числа трёх видов: число $1$, чётные числа и нечётные числа, кратные $3$. Единица в наборе одна (числа различны), чётных чисел не больше одного, а чисел, кратных $3$, тоже не больше одного. Значит, особых чисел не больше трёх, а остальных — не меньше четырёх.

Каждое неособое число больше $1$, нечётно и не делится на $3$, то есть это одно из чисел

$$5,7,11,13,17,19,23,25,\dots$$

Если неособых чисел пять или больше, то их сумма уже не меньше $5+7+11+13+17=53>42$.

Если неособых чисел ровно четыре, то их сумма не меньше $5+7+11+13=36$. Тогда особых чисел три, по одному каждого вида: единица, чётное число (не меньше $2$) и нечётное число, кратное $3$ (не меньше $3$). Сумма всех чисел не меньше

$$1+2+3+36=42.$$

В обоих случаях сумма не меньше $42$.

Пример. Набор $1,2,3,5,7,11,13$: числа различны, все, кроме $1$, — разные простые, поэтому попарно взаимно просты. Сумма

$$1+2+3+5+7+11+13=42.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $42$.