ЕГЭ по профильной математике 2027 Банк заданий ФИПИ

№19 4 балла

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$$x^2+a^2+7x-23a=|23x+7a|$$

имеет больше двух различных корней.

№20 4 балла

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

№20 4 балла

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

№20 4 балла

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

№20 4 балла

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

№20 4 балла

Над парами целых чисел проводится операция: из пары $\left(a;b\right)$ получается пара $\left(3a+b;3b-a\right)$.

а) Можно ли из какой-то пары получить пару $\left(5;5\right)$?

б) Верно ли, что если пара $\left(c;d\right)$ может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара $\left(-d;c\right)$ тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел $\left(a;b\right)$ и $\left(c;d\right)$ выражением $\left|a-c\right|+\left|b-d\right|$. Найдите наименьшее расстояние от пары $\left(9;2\right)$ до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

№20 4 балла

Из пары натуральных чисел $(a;b)$, где $a>b$, за один ход получают пару $(a+b;a-b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100;1)$ пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100;1)$ пару $(806;788)$?

в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a;b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806;788)$?

№20 4 балла

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

№20 4 балла

Ваня написал на доске трёхзначное число $A$. Петя переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B$. Коля тоже переписал это число $A$, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C$.

а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $A>150$?

б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C$, если $540\le A<600$?

в) Найдите наибольшее число $A$, для которого может быть верным равенство $A=B\cdot C$.

№20 4 балла

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120$.

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

№20 4 балла

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

№20 4 балла

Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}$?

в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d}$, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?