ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть Юра записал первым число $x$, вторым — число $y$ (оба двузначные). Тогда четырёхзначное число равно $100x+y$, а Полина, разделив его на $x$ и на $y$, получает

$$\frac{100x+y}{xy}=\frac{100}{y}+\frac{1}{x}.$$

а) Да, может. Найдём подходящие числа. Равенство $\frac{100x+y}{xy}=2$ означает $100x+y=2xy$. Умножим на $2$ и перенесём всё в одну сторону: $4xy-200x-2y=0$. Добавим $100$ к обеим частям и разложим на множители:

$$4xy-200x-2y+100=100\iff (2x-1)(2y-100)=100.$$

Число $2x-1$ нечётно и является делителем $100$, то есть равно $1$, $5$ или $25$. Так как $x⩾10$, $2x-1⩾19$, поэтому $2x-1=25$, $x=13$. Тогда $2y-100=4$, $y=52$ — это число начинается с пятёрки.

Проверка: Юра придумал $13$ и $52$ и составил число $1352$. Тогда

$$\frac{1352}{13\cdot 52}=\frac{1352}{676}=2.$$

б) Нет, не может. Так как $x⩾10$ и $y⩾10$,

$$\frac{100}{y}+\frac{1}{x}⩽\frac{100}{10}+\frac{1}{10}=10,1<15,5.$$

в) Оценка. Одно из чисел начинается с пятёрки. Разберём, какое.

Если с пятёрки начинается $y$, то $y⩾50$, $x⩾10$, и

$$\frac{100}{y}+\frac{1}{x}⩽\frac{100}{50}+\frac{1}{10}=2,1.$$

Если с пятёрки начинается $x$, то $x⩾50$, $y⩾10$, и

$$\frac{100}{y}+\frac{1}{x}⩽\frac{100}{10}+\frac{1}{50}=10\frac{1}{50}=10,02.$$

В любом случае результат не больше $10,02$.

Пример. Юра придумал числа $50$ и $10$ и записал первым $50$: получилось $5010$. Полина получает

$$\frac{5010}{50\cdot 10}=\frac{5010}{500}=10,02.$$

Значит, значение $10,02$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $10,02$.