ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть число $N=\overline{abc}=100a+10b+c$, где $1⩽a⩽9$, $0⩽b,c⩽9$. Число не кратно $100$, поэтому цифры $b$ и $c$ не равны нулю одновременно. Если частное равно $k$, то

$$100a+10b+c=k(a+b+c)\iff (100-k)a=(k-10)b+(k-1)c.(\ast )$$

а) Да, может. При $k=70$ равенство $(\ast )$ принимает вид $30a=60b+69c$, то есть $10a=20b+23c$. Отсюда $23c$ делится на $10$, значит, $c=0$, и тогда $a=2b$. Подходит, например, $a=2$, $b=1$.

Пример: $N=210$. Оно трёхзначное и не кратно $100$, сумма цифр $2+1+0=3$, и $210:3=70$.

б) Нет, не может. При $k=81$ равенство $(\ast )$ принимает вид

$$19a=71b+80c.$$

Левая часть кратна $19$ и лежит в пределах от $19$ до $19\cdot 9=171$: это числа $19,38,57,76,95,114,133,152,171$.

Переберём пары $(b;c)$, при которых правая часть не больше $171$. Если $b⩾3$ или $c⩾3$, правая часть больше $171$; пары $(2;1)$, $(1;2)$, $(2;2)$ дают $222$, $231$, $302$. Пара $(0;0)$ даёт $19a=0$, что невозможно. Остаются:

$$(1;0)\to 71,(2;0)\to 142,(0;1)\to 80,(0;2)\to 160,(1;1)\to 151.$$

Ни одно из чисел $71$, $142$, $80$, $160$, $151$ не делится на $19$. Значит, частное не может равняться $81$.

в) Оценка. Пусть частное равно натуральному $k$. Если $k⩽10$, то тем более $k<91$. Пусть $k⩾11$. Тогда $k-10⩾1$ и $k-1>k-10$, а $b+c⩾1$, поэтому правая часть $(\ast )$

$$(k-10)b+(k-1)c⩾(k-10)(b+c)⩾k-10>0.$$

Значит, и левая часть положительна, то есть $100-k>0$, и так как $a⩽9$, она не больше $9(100-k)$. Получаем

$$9(100-k)⩾k-10\iff 910⩾10k\iff k⩽91.$$

Пример. Равенство в оценке достигается при $a=9$, $b+c=1$ и $c=0$, то есть для числа $910$: оно не кратно $100$, сумма цифр $9+1+0=10$, и $910:10=91$. Значит, частное $91$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $91$.