ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть Юра придумал двузначные числа $A$ и $B$ и записал сначала $A$, а за ним $B$. Число $A$ сдвинулось на два разряда влево, то есть умножилось на $100$, поэтому получилось четырёхзначное число

$$\overline{AB}=100A+B.$$

Полина делит его сначала на одно придуманное число, а результат — на другое. Это то же самое, что разделить на произведение $AB$. Значит, у Полины получается

$$N=\frac{100A+B}{AB}=\frac{100A}{AB}+\frac{B}{AB}=\frac{100}{B}+\frac{1}{A}.$$

Здесь $A$ — число, записанное первым, $B$ — вторым, оба от $10$ до $99$, и хотя бы одно из них оканчивается тройкой. Этой формулой будем пользоваться во всех пунктах.

а) Да, может.

Как подобрать пример. Равенство $N=2$ означает $100A+B=2AB$, то есть $100A=B(2A-1)$. Числа $A$ и $2A-1$ взаимно просты: их общий делитель делит и разность $2A-(2A-1)=1$. Поэтому $2A-1$ — делитель числа $100$, причём нечётный: $1$, $5$ или $25$. Двузначное $A$ получается только при $2A-1=25$, то есть $A=13$, и тогда $B=\frac{100\cdot 13}{25}=52$.

Пример. Юра придумал числа $13$ и $52$ (оба двузначные, $13$ оканчивается тройкой) и записал число $1352$. Тогда

$$1352:13=104,104:52=2.$$

У Полины получилось $2$.

б) Нет, не может. Оба числа двузначные, поэтому $A⩾10$ и $B⩾10$. Тогда

$$N=\frac{100}{B}+\frac{1}{A}⩽\frac{100}{10}+\frac{1}{10}=10,1<19,5.$$

Число Полины всегда меньше $19,5$.

в) Оценка. Слагаемое $\frac{100}{B}$ тем больше, чем меньше $B$, а $\frac{1}{A}$ — чем меньше $A$. Наименьшее двузначное число $10$, а наименьшее двузначное число, оканчивающееся тройкой, — $13$. Рассмотрим, какое из чисел оканчивается тройкой.

Если тройкой оканчивается первое число $A$, то $A⩾13$, $B⩾10$ и

$$N⩽\frac{100}{10}+\frac{1}{13}=10\frac{1}{13}.$$

Если тройкой оканчивается второе число $B$, то $B⩾13$, $A⩾10$ и

$$N⩽\frac{100}{13}+\frac{1}{10}=\frac{1013}{130}<\frac{1310}{130}=10\frac{1}{13}.$$

В любом случае $N⩽10\frac{1}{13}$.

Пример. Юра придумал числа $13$ и $10$ и записал число $1310$. Тогда

$$\frac{1310}{13\cdot 10}=\frac{1310}{130}=\frac{131}{13}=10\frac{1}{13}.$$

Значит, наибольшее число у Полины равно $10\frac{1}{13}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $10\frac{1}{13}$.