В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1010 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Введём обозначения: — количество овощей массой меньше 1000 г («лёгкие»), — количество овощей массой больше 1000 г («тяжёлые»), — количество овощей массой ровно 1000 г. Всего овощей 73:
Сумма масс группы равна средней массе, умноженной на количество. Поэтому общая масса всех овощей равна г, лёгких — г, тяжёлых — г, овощей ровно по 1000 г — г. Получаем
Вычтем из этого равенства равенство (это первое уравнение, умноженное на 1000):
Это главное соотношение задачи. Выведем из него два следствия.
Первое: и . Действительно, в ящике есть овощи разной массы, поэтому не все овощи весят ровно 1000 г, то есть . Если бы одно из чисел , было равно нулю, то из нулю было бы равно и другое — противоречие.
Второе: делится на 6, а числа 5 и 6 взаимно просты, поэтому делится на 6. Пусть , тогда , где — натуральное число.
а) Пусть . Подставим в : получим , то есть . Но мы доказали, что . Противоречие, поэтому лёгких и тяжёлых овощей не может быть поровну.
б) Пусть . Тогда . С другой стороны, . Получаем , но 62 не делится на 11, поэтому натурального не существует. Значит, ровно 11 овощей по 1000 г быть не могло.
в) Пусть — наименьшая масса овоща в ящике. Лёгкие овощи есть (), их массы меньше 1000 г, поэтому самый лёгкий овощ — среди лёгких, и .
Оценка. В группе лёгких овощей с суммарной массой . Один из них весит , а каждый из остальных весит целое число граммов, меньшее 1000, то есть не больше 999. Поэтому
Чем больше , тем слабее это ограничение, поэтому оценим сверху. Так как , то (ведь ), и значит, . Тогда
Итак, ни один овощ не может весить меньше 669 г.
Пример. Оценка точна, когда (то есть , , ), а все лёгкие овощи, кроме одного, весят по 999 г. Возьмём:
- 1 овощ массой 669 г;
- 29 овощей массой 999 г;
- 7 овощей массой 1000 г;
- 36 овощей массой 1010 г.
Проверим все условия. Овощей , массы целые, есть овощи разной массы.
Средняя масса лёгких овощей:
Средняя масса тяжёлых овощей: все 36 весят по 1010 г, среднее равно 1010.
Средняя масса всех овощей:
Все условия выполнены, значит, наименьшая масса овоща равна 669 г.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 669.