Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с тройки, и, записав их… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2026 развёрнутое

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с тройки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа.

а) Может ли у Полины получиться число $3$ ?

б) Может ли у Полины получиться число $13, 5$ ?

в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть первым Юра записал двузначное число $x$ , вторым — двузначное число $y$ . Четырёхзначное число равно $100 x + y$ , и Полина получает

$\frac{100 x + y}{x y} = \frac{100}{y} + \frac{1}{x} .$

Здесь $10 ⩽ x ⩽ 99$ , $10 ⩽ y ⩽ 99$ , и одно из чисел лежит от $30$ до $39$ .

а) Да, может. Найдём подходящие числа. Равенство $100 x + y = 3 x y$ умножим на $3$ , перенесём всё в одну часть и прибавим $100$ , чтобы разложить левую часть на множители:

$9 x y - 300 x - 3 y + 100 = 100 \Leftrightarrow (3 x - 1) (3 y - 100) = 100.$

Возьмём $3 y - 100 = 2$ и $3 x - 1 = 50$ : получаем $y = 34$ , $x = 17$ . Проверим: числа $17$ и $34$ двузначные, $34$ начинается с тройки, четырёхзначное число $1734$ , и

$\frac{1734}{17 \cdot 34} = \frac{1734}{578} = 3.$

б) Нет, не может. Так как $x ⩾ 10$ и $y ⩾ 10$ ,

$\frac{100}{y} + \frac{1}{x} ⩽ \frac{100}{10} + \frac{1}{10} = 10, 1 < 13, 5.$

в) Оценка. Рассмотрим два случая.

Если с тройки начинается $y$ , то $y ⩾ 30$ , $x ⩾ 10$ , и

$\frac{100}{y} + \frac{1}{x} ⩽ \frac{100}{30} + \frac{1}{10} = \frac{103}{30} < 4.$

Если с тройки начинается $x$ , то $x ⩾ 30$ , $y ⩾ 10$ , и

$\frac{100}{y} + \frac{1}{x} ⩽ \frac{100}{10} + \frac{1}{30} = 10 \frac{1}{30} .$

В обоих случаях результат не больше $10 \frac{1}{30}$ .

Пример. $x = 30$ , $y = 10$ : число $30$ начинается с тройки, четырёхзначное число $3010$ , и

$\frac{3010}{30 \cdot 10} = \frac{301}{30} = 10 \frac{1}{30} .$

Ответ: а) да; б) нет; в) $10 \frac{1}{30}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20