ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть Полина выбрала числа $x_1,x_2,\dots ,x_k$. Её результат $x_1{x}_2\cdot \dots \cdot x_k$, а результат Юры $(x_1+1)(x_2+1)\cdot \dots \cdot (x_k+1)$. Их отношение

$$\frac{x_1+1}{x_1}\cdot \frac{x_2+1}{x_2}\cdot \dots \cdot \frac{x_k+1}{x_k}.$$

Каждый множитель $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ больше $1$.

а) Пусть Полина выбрала все числа от $25$ до $49$, то есть $25,26,27,\dots ,48,49$ — всего $25$ чисел. Тогда у Юры числа $26,27,\dots ,49,50$, и отношение результатов

$$\frac{26\cdot 27\cdot \dots \cdot 50}{25\cdot 26\cdot \dots \cdot 49}=\frac{50}{25}=2,$$

так как все множители от $26$ до $49$ сокращаются. Значит, результат Юры может быть в два раза больше.

б) Любой набор Полины — часть набора всех чисел от $25$ до $75$. Для полного набора отношение равно отношению для выбранного набора, умноженному на множители $\frac{x+1}{x}$ для невыбранных чисел, а каждый такой множитель больше $1$. Поэтому отношение для любого набора не больше, чем для полного:

$$\frac{26\cdot 27\cdot \dots \cdot 76}{25\cdot 26\cdot \dots \cdot 75}=\frac{76}{25}=3\frac{1}{25}<5.$$

Значит, в пять раз результат Юры больше быть не может.

в) Оценка. По пункту б) отношение результатов не больше $\frac{76}{25}=3,04<4$. Значит, целое отношение не больше $3$.

Пример. Пусть Полина выбрала все числа от $25$ до $74$. Тогда у Юры числа от $26$ до $75$, и

$$\frac{26\cdot 27\cdot \dots \cdot 75}{25\cdot 26\cdot \dots \cdot 74}=\frac{75}{25}=3.$$

Значит, отношение $3$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $3$.