ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

а) Будем прибавлять $12$ и вычёркивать девятки:

$$47\stackrel{+12}{\to }59\stackrel{\text{вычёркиваем }9}{\to }5\stackrel{+12}{\to }17\stackrel{+12}{\to }29\stackrel{\text{вычёркиваем }9}{\to }2.$$

Значит, из $47$ можно получить $2$.

б) Докажем, что ни одно действие не меняет остаток числа при делении на $3$.

Умножение на $4$: $4x=3x+x$, а $3x$ делится на $3$, поэтому $4x$ и $x$ дают одинаковые остатки.

Прибавление $12$: число $12$ делится на $3$, поэтому $x+12$ и $x$ дают одинаковые остатки.

Вычёркивание цифры $9$: число даёт при делении на $3$ тот же остаток, что и его сумма цифр. При вычёркивании девятки сумма цифр уменьшается на $9$, то есть на число, кратное $3$, и остаток не меняется.

Число $7$ даёт остаток $1$ при делении на $3$, а $77$ — остаток $2$ (сумма цифр $14$). Поэтому из $7$ получить $77$ нельзя.

в) Все числа на доске получены из $1$ этими действиями, поэтому все они дают остаток $1$ при делении на $3$. Считаем различные числа: повторно записанное число новым не является.

Оценка. Натуральные числа, меньшие $2015$ и дающие остаток $1$ при делении на $3$:

$$1,4,7,\dots ,2011,2014=3\cdot 671+1.$$

Их $672$, поэтому чисел, меньших $2015$, на доске не больше $672$.

Пример. Покажем, что все эти $672$ числа можно записать. Любое из них даёт при делении на $12$ остаток $1$, $4$, $7$ или $10$ (это все остатки при делении на $12$, сравнимые с $1$ по модулю $3$). Получим сначала числа $1$, $4$, $7$, $10$:

$$1\stackrel{\cdot 4}{\to }4;$$

$$1\stackrel{+12}{\to }13\stackrel{+12}{\to }25\stackrel{+12}{\to }37\stackrel{+12}{\to }49\stackrel{+12}{\to }61\stackrel{+12}{\to }73\stackrel{+12}{\to }85\stackrel{+12}{\to }97\stackrel{\text{вычёркиваем }9}{\to }7;$$

$$97\stackrel{+12}{\to }109\stackrel{\text{вычёркиваем }9}{\to }10.$$

Затем от каждого из чисел $1$, $4$, $7$, $10$ прибавляем $12$ нужное число раз и получаем все числа вида $12m+1$, $12m+4$, $12m+7$, $12m+10$, меньшие $2015$. Это и есть все $672$ числа.

Ответ: а) да; б) нет; в) $672$.