ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в классе $n$ учащихся, из них $d$ девочек. По условию $11⩽n⩽28$ и $\frac{d}{n}⩽0,22$, то есть $d⩽0,22n$.

а) Да, может. Пусть в классе $4$ девочки и $21$ мальчик. Всего $25$ учащихся, $11⩽25⩽28$, а доля девочек

$$\frac{4}{25}=0,16=16\%⩽22\%.$$

б) Нет, не может. После прихода девочки в классе $n+1$ учащихся и $d+1$ девочка. Используем $d⩽0,22n$:

$$\frac{d+1}{n+1}⩽\frac{0,22n+1}{n+1}=\frac{0,22(n+1)+0,78}{n+1}=0,22+\frac{0,78}{n+1}.$$

Так как $n+1⩾12$, второе слагаемое не больше $\frac{0,78}{12}=0,065$. Значит,

$$\frac{d+1}{n+1}⩽0,22+0,065=0,285=28,5\%<30\%.$$

в) Оценка. По пункту б) новая доля не больше $28,5\%$, поэтому целое число процентов не больше $28$. Новая доля равна $\frac{d+1}{n+1}$, где $12⩽n+1⩽29$. Проверим значения $28$, $27$, $26$.

Если доля $28\%$, то $\frac{d+1}{n+1}=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}$, то есть $25(d+1)=7(n+1)$. Числа $7$ и $25$ взаимно просты, поэтому $n+1$ делится на $25$, и при $n+1⩽29$ остаётся $n+1=25$. Тогда $d+1=7$, то есть $n=24$, $d=6$. Но $\frac{6}{24}=25\%>22\%$ — не подходит.

Если доля $27\%$, то $100(d+1)=27(n+1)$. Дробь $\frac{27}{100}$ несократима, поэтому $n+1$ делится на $100$, а $n+1⩽29$ — невозможно.

Если доля $26\%$, то $\frac{d+1}{n+1}=\frac{13}{50}$, и $n+1$ делится на $50$ — тоже невозможно.

Значит, доля девочек не больше $25\%$.

Пример. Пусть в классе $2$ девочки и $9$ мальчиков: $n=11$, доля девочек $\frac{2}{11}<\frac{2}{10}=20\%⩽22\%$. После прихода новой девочки девочек $3$ из $12$, доля

$$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\%.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $25$.