ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №17 — оптимизация

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\epsilon =40$ В и внутреннее сопротивление $r=2$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$$I=\frac{\epsilon }{r+R},$$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^{2}R$ (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\epsilon =50$ В и внутреннее сопротивление $r=10$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$$I=\frac{\epsilon }{r+R},$$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^{2}R$ (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\epsilon =40$ В и внутреннее сопротивление $r=1$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$$I=\frac{\epsilon }{r+R},$$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^{2}R$ (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\epsilon =50$ В и внутреннее сопротивление $r=5$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$$I=\frac{\epsilon }{r+R},$$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^{2}R$ (закон Джоуля–Ленца). При каком сопротивлении нагрузки $R$ выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,5x^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$.

Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год $p=10$, а далее каждый год цена возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

На заводе имеется генератор с ЭДС $\epsilon =50$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\frac{\epsilon }{r+R}$. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля–Ленца: $P=I^{2}R$. Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,5x^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$.

Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

$$A=k{\theta }_0\cdot \frac{{\tau }^2}{\sqrt{(T^2-{\tau }^2{)}^2+n{\tau }^2{T}^2}},$$

где $k=0,91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, ${\theta }_0=9^{\circ }$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T=14,7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0,0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.