ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — планиметрия

Дан равнобедренный треугольник $ABC.$ Окружность с центром $O$ на основании $BC$ касается боковых сторон $AB$ и $AC.$ Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $OM$ и $ON$ разбивают четырёхугольник $BMNC$ на три подобных треугольника.

б) Найдите длину отрезка $AM,$ если треугольник $ABC$ равносторонний, $AB=20$ и $AN:NC=2:3.$

В тупоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $ABC$. $BP$ и $CP$ — перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, причём $CP$ пересекает сторону $AB$. Высота $CH$ треугольника $ACP$ пересекает отрезок $AB$ в точке $K$.

а) Докажите, что острые углы $ABC$ и $ACH$ равны.

б) Найдите длину стороны $AC$, если $AK=6$, $BK=18$.

Диагональ $AC$ разбивает трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ из которых $AD$ большее, на два подобных треугольника.

a) Докажите, что $\angle ABC=\angle ACD.$

б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что $BC=32,$ $AD=50$ и $\cos \angle CAD=\frac{4}{5}.$

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина боковой стороны $CD.$ На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $KC$ и $AE$ параллельны. Отрезки $KC$ и $BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=KO.$

б) Найдите длину основания $BC,$ если $AD=15,$ а площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{4}{49}$ площади трапеции $ABCD.$

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB.$

б) Найдите длину отрезка $NO,$ если известно, что $AC=24$ и $AB=32.$

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^{\circ }$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.

а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите $\sin \angle BMC$, если известно, что отрезок $BM$ в $2,8$ раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

В тупоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $ABC$. $BP$ и $CP$ — перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, причём $CP$ пересекает сторону $AB$. Высота $CH$ треугольника $ACP$ пересекает отрезок $AB$ в точке $K$.

а) Докажите, что острые углы $ABC$ и $ACH$ равны.

б) Найдите длину стороны $AC$, если $AK=5$, $BK=15$.

Прямые, содержащие катеты $AC$ и $CB$ прямоугольного треугольника $ABC$, являются общими внутренними касательными к окружностям. Прямая, содержащая гипотенузу $AB$, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника $ABC$

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если радиусы окружностей равны $4$ и $8$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD.$ Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L.$ На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $AE=CE.$

а) Докажите, что $AL:AC=AB:BC.$

б) Найдите $EL,$ если $AC=21,$ $\mathrm{tg}\angle BCA=0,4.$

Окружность, вписанная в квадрат $ABCD$, касается его стороны $AB$ в точке $K$, а стороны $AD$ в точке $E$. Отрезки $CK$ и $CE$ пересекают окружность в точках $M$ и $P$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EK$ и $MP$ параллельны.

б) Найдите $ME$, если сторона квадрата равна 10.

В трапеции $ABCD$ проведена биссектриса угла $BAD$, которая пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$ и делит эту сторону пополам.

а) Докажите, что треугольник $ABM$ прямоугольный.

б) Найдите $AM$, если средняя линия трапеции равна $12,5$, а $BM=7.$

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписана окружность с центром $O$ и проведена высота $CH$.

а) Докажите, что $AH=AB$.

б) Найдите длину диагонали $AC$, если известно, что средняя линия трапеции равна $4\sqrt{5}$, а $\angle AOD=150^{\circ }$.

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина боковой стороны $CD.$ На стороне $AB$ взяли точку $K$ так, что прямые $KC$ и $AE$ параллельны. Отрезки $KC$ и $BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=KO.$

б) Найдите длину основания $BC,$ если $AD=20,$ а площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{64}$ площади трапеции $ABCD.$

В параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы углов $A$ и $C$, пересекающие $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. $AK$ пересекает $BD$ в точке $P$, $CM$ пересекает $BD$ в точке $F$. Известно, что $PF=1$, $BC=5$, $AB=3$.

а) Докажите, что треугольник $ABD$ прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника $KPFC$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD.$ Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L.$ На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $AE=CE.$

а) Докажите, что $AB:AL=BC:AC.$

б) Найдите $EL,$ если $AC=24,$ $\mathrm{tg}\angle BCA=0,6.$

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R.$ К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r.$ Прямые $O{O}_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P.$

а) Докажите, что $AP:PB=\cos \angle ACB.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $R=5,$ $r=3.$

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ и пересекает катет $AC$ в точке $K,$ гипотенузу $AB$ — в точке $M.$

а) Докажите, что треугольники $AKM$ и $ABC$ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника $CKMB,$ если радиус окружности равен $2\sqrt{5},$ катеты $AC$ и $BC$ равны 12 и 4 соответственно.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB,CD$ и $AD$ соответственно в точках $F,K$ и $P.$

а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD.$

б) Найдите длину диагонали $BD,$ если известно, что $FP=12$ и $PK=5.$

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD.$ Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L.$ На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $AE=CE.$

а) Докажите, что $AL\cdot BC=AB\cdot AC.$

б) Найдите длину отрезка $EL,$ если $AC=24,$ $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{4}.$

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB.$

б) Найдите длину отрезка $NO,$ если известно, что $AC=18$ и $AB=24.$

Диагональ $AC$ разбивает трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, из которых $AD$ большее, на два подобных треугольника.

а) Докажите, что $\angle ABC=\angle ACD$.

б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что $BC=18$, $AD=50$ и $\cos \angle CAD=\frac{3}{5}$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $M$ такую, что $BM:MC=2:3,$ $DB=DM.$

а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0,8.$

б) На луче $BH,$ где $BH$ — высота треугольника $BDM,$ отметили такую точку $P,$ что около четырёхугольника $ABPD$ можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=\sqrt{10}.$

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK$, если $AB=3,AC=5$.

Окружность, вписанная в квадрат $ABCD$, касается его стороны $AB$ в точке $K$, а стороны $AD$ в точке $E$. Отрезки $CK$ и $CE$ пересекают окружность в точках $M$ и $P$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EK$ и $MP$ параллельны.

б) Найдите $ME$, если сторона квадрата равна 30.