ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

а) Да. Возьмём 9 монет по 2 рубля и все 33 монеты по 5 рублей:

$$9\cdot 2+33\cdot 5=18+165=183.$$

б) Нет. Монеты по 2 рубля дают чётную сумму. Чтобы вся сумма 184 была чётной, сумма пятирублёвых монет тоже должна быть чётной, а $5b$ чётно только при чётном $b$. Значит, пятирублёвых монет взято чётное число, то есть не больше 32. Тогда наибольшая возможная сумма

$$32\cdot 5+10\cdot 2=160+20=180<184.$$

Набрать 184 рубля нельзя.

в) Оценка. Все имеющиеся монеты вместе дают

$$33\cdot 5+10\cdot 2=165+20=185\text{ рублей}.$$

Чтобы набрать 190 рублей, общая сумма всех монет должна быть не меньше 190, поэтому рублёвых монет нужно добавить не меньше $190-185=5$.

Пример. Покажем, что пяти рублёвых монет достаточно. Теперь у нас ровно 190 рублей; разложим все монеты на 19 кучек по 10 рублей:

• 32 монеты по 5 рублей — на 16 кучек по две монеты;
• 10 монет по 2 рубля — на 2 кучки по пять монет;
• оставшуюся монету в 5 рублей и 5 монет по 1 рублю — в последнюю, 19-ю кучку.

Пусть нужно набрать сумму $S$ от 1 до 190. Запишем $S=10q+r$, где $r$ — остаток от деления на 10, $0⩽r⩽9$.

Если $r=0$, то $q⩽19$, и берём $q$ целых кучек.

Если $r⩾1$, то $10q<S⩽190$, поэтому $q⩽18$. Берём $q$ кучек из первых восемнадцати, а $r$ рублей набираем из последней кучки:

$$\begin{array}{l}1=1,2=1+1,3=1+1+1,4=1+1+1+1,5=5,\\ 6=5+1,7=5+1+1,8=5+1+1+1,9=5+1+1+1+1.\end{array}$$

Так набирается любая сумма от 1 до 190 рублей. Значит, наименьшее количество добавленных монет — 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.