ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №10 — прикладные задачи

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a{\text{км/ч}}^2$. Скорость вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0,2$ километра, приобрести скорость $80$ км/ч. Ответ выразите в км/ч${}^2$.

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m=1260$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l=18$ метров и шириной $s$ метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p=\frac{mg}{2ls}$, где $m$ — масса экскаватора (в тоннах), $l$ — длина балок в метрах, $s$ — ширина балок в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с${}^2$). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление $p$ не должно превышать $140$ кПа. Ответ выразите в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле $F_A=\rho g{l}^3,$ где $l$ — длина ребра куба (в метрах), $\rho =1000{\text{ кг/м}}^3$ — плотность воды, а $g=9,8$ Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину ребра куба (в метрах), позволяющую обеспечить эксплуатацию аппарата в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не будет превышать 264 600 Н.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

$$\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100$$

где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет 25%, если температура холодильника $T_2=336\text{ К}?$ Ответ дайте в кельвинах.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C=2\cdot 10^{-6}\Phi$. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R=5\cdot 10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=16\text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U(\text{кВ})$ за время, определяемое выражением $t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha =0,7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла $21$ с. Ответ дайте в киловольтах.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v=4$ моля воздуха объёмом $V_1=22$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha vT{\log }_2\frac{V_1}{V_2},$ где $\alpha =9,1\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, а $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 21840 Дж.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=2\cdot 10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=6\cdot 10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=10$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha RC{\log }_2\frac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha =0,7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 16,8 с. Ответ дайте в киловольтах.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu =2$ моля воздуха объёмом $V_1=18$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha \nu T{\log }_2\frac{V_1}{V_2},$ где $\alpha =9,15\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ — постоянная, а $T=300K$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 980 Дж.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ ${\text{км/ч}}^2.$ Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,9 километра, приобрести скорость 150 км/ч. Ответ дайте в ${\text{км/ч}}^2.$

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}},$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время в минутах, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 164 мг. Период его полураспада составляет 7 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 41 мг.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле $F_A=\alpha \rho g{r}^3,$ где $\alpha =3,1$ — постоянная, $r$ — радиус сферы в метрах, $\rho =1000{\text{ кг/м}}^3$ — плотность воды, а $g=10$ Н/кг кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит 837 000 H.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l=\sqrt{2Rh},$ где $R=6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии 8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 километров?

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, действующая на неё выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, определяется по формуле $F_A=\alpha \rho g{r}^3$, где $\alpha =4,2$ — постоянная, $r$ — радиус сферы в метрах, $\rho =1000$ кг/м${}^3$ — плотность воды, а $g=10$ Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите наибольшую длину радиуса сферы (в метрах), при которой выталкивающая сила при погружении не превосходит $336000$ Н.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A=\alpha \rho g{r}^3$, где $\alpha =4,2$ — постоянная, $\rho =1000\text{кг}/{\text{м}}^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ Н/кг ), а $r$ — радиус апшарата в метрах. Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем 447216 H? Ответ дайте в метрах.

Водолазный колокол, содержащий $\nu =2$ моль воздуха при давлении $p_1=1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha \nu T{\log }_2\frac{p_2}{p_1},$ где $\alpha =5,75\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu =2$ моля воздуха объeмом $V_1=4$ л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha \nu T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$, где $\alpha =5,75$ — постоянная, $T=300$ K — температура воздуха. Найдите, какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому $P=\sigma S{T}^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma =5,7\cdot 10^{-8}\frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2\cdot {\text{K}}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{125}\cdot 10^{20}{\text{м}}^2,$ а мощность её излучения равна $4,56\cdot 10^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

$$\eta =\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100$$

где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет 15%, если температура холодильника $T_2=323\text{ К}?$ Ответ дайте в кельвинах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=1000{\text{ км/ч}}^2.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 40 км/ч.

Наблюдатель находится на высоте $h,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l=\sqrt{\frac{Rh}{500}},$ где $R=6400$ км — радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 60 километров? Ответ дайте в метрах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v},$ где $f_0=100$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=24$ м/с и $v=11$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 110 Гц? Ответ дайте в м/с.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}},$ где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Двигаясь со скоростью $v=4$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=90$ кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N=Fv\cos \alpha .$ Найдите, при каком угле $\alpha$ эта мощность будет равна 180 кВт (кВт — это $\frac{\text{кН}\cdot \text{м}}{\text{с}}$). Ответ дайте в градусах.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 297 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ вычисляется по формуле $v=c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0},$ где $c=1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ — частота испускаемых импульсов, $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 15 м/с.