ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Пусть $\overline{ab}=10a+b$ — двузначное число. Все получившиеся числа двузначные, поэтому после операции цифры остаются цифрами (от 0 до 9), а цифра десятков — не меньше 1.

Первая операция: десятки $+2$, единицы $-4$. Число меняется на $+20-4=+16$. Её можно применить, только если $a+2⩽9$ и $b-4⩾0$, то есть $1⩽a⩽7$, $4⩽b⩽9$. Наименьшее такое число — 14.

Вторая операция: десятки $-3$, единицы $+2$. Число меняется на $-30+2=-28$. Её можно применить, только если $a-3⩾1$ и $b+2⩽9$, то есть $4⩽a⩽9$, $0⩽b⩽7$. Наименьшее такое число — 40.

Пусть первую операцию применили к $x$ числам, вторую — к $y$ числам. Тогда сумма чисел изменилась на $16x-28y$.

а) Нет. Если сумма получившихся чисел на 222 больше суммы исходных, то

$$16x-28y=222.$$

Левая часть делится на 4 ($16x-28y=4(4x-7y)$), а $222=4\cdot 55+2$ на 4 не делится. Противоречие.

б) Нет. Если суммы равны, то $16x-28y=0$, то есть $4x=7y$. При этом $x+y=32$, откуда $y=32-x$:

$$4x=7(32-x),11x=224.$$

Но 224 не делится на 11 ($11\cdot 20=220$, $11\cdot 21=231$), поэтому целого $x$ нет.

в) Суммы равны, значит, $4x=7y$. Правая часть делится на 7, а 4 и 7 взаимно просты, поэтому $x$ делится на 7; аналогично $y$ делится на 4. Пусть $x=7k$, тогда $y=4k$ ($k$ — натуральное), и всего на доске $11k$ чисел.

Оценка. Каждое из $7k$ чисел, к которым применили первую операцию, не меньше 14, а каждое из $4k$ чисел со второй операцией не меньше 40. Поэтому сумма чисел на доске не меньше

$$14\cdot 7k+40\cdot 4k=98k+160k=258k.$$

По условию сумма меньше 1509 (исходная и итоговая суммы равны, так что неважно, о какой речь): $258k<1509$. Так как $258\cdot 6=1548>1509$, получаем $k⩽5$, и чисел не больше $11\cdot 5=55$.

Пример. Пусть на доске 35 чисел 14 и 20 чисел 40. К каждому числу 14 применим первую операцию: $14\to 30$ (десятки $1+2=3$, единицы $4-4=0$). К каждому числу 40 — вторую: $40\to 12$ (десятки $4-3=1$, единицы $0+2=2$). Все получившиеся числа двузначные.

Сумма исходных чисел: $35\cdot 14+20\cdot 40=490+800=1290<1509$. Сумма получившихся: $35\cdot 30+20\cdot 12=1050+240=1290$. Суммы равны, всего $35+20=55$ чисел.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 55.