ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Разберёмся, как меняется число при каждой операции. По условию цифры меняются прямо в своих разрядах и после операции снова получается двузначное число, поэтому переходов через разряд нет.

Первая операция: цифра десятков увеличивается на $4$ (число растёт на $40$), цифра единиц уменьшается на $5$ (число уменьшается на $5$). Итого число увеличивается на $35$. Её можно применить только к числу, у которого цифра десятков от $1$ до $5$, а цифра единиц от $5$ до $9$. Наименьшее такое число — $15$.

Вторая операция: цифра десятков уменьшается на $5$ (число уменьшается на $50$), цифра единиц увеличивается на $5$ (число растёт на $5$). Итого число уменьшается на $45$. Чтобы число осталось двузначным, цифра десятков должна быть от $6$ до $9$, а цифра единиц — от $0$ до $4$. Наименьшее такое число — $60$.

Пусть первую операцию проделали с $x$ числами, вторую — с $y$ числами. Тогда сумма чисел изменилась на $35x-45y$.

а) Нет, не может. Если сумма выросла на $224$, то

$$35x-45y=224.$$

Левая часть делится на $5$, а $224$ на $5$ не делится. Целых решений нет.

б) Нет, не может. Если сумма не изменилась, то $35x=45y$, то есть $7x=9y$. Число $7x$ делится на $9$, а $7$ и $9$ взаимно просты, поэтому $x$ делится на $9$: $x=9k$. Тогда $7\cdot 9k=9y$, $y=7k$. Всего чисел

$$x+y=9k+7k=16k,$$

то есть количество чисел делится на $16$. Число $30$ на $16$ не делится, значит, чисел не может быть $30$.

в) Покажем, что наибольшее количество чисел равно $48$.

Оценка. По пункту б) $x=9k$, $y=7k$ и всего чисел $16k$, $k$ — натуральное. Каждое из $9k$ чисел первого вида не меньше $15$, а каждое из $7k$ чисел второго вида не меньше $60$. Поэтому сумма исходных чисел

$$S⩾15\cdot 9k+60\cdot 7k=135k+420k=555k.$$

По условию $S<1801$, значит, $555k<1801$. При $k=4$ получилось бы $555\cdot 4=2220>1801$, поэтому $k⩽3$ и чисел не больше $16\cdot 3=48$.

Пример. Пусть на доске $27$ чисел $15$ и $21$ число $60$ — всего $48$ чисел. К каждому числу $15$ применим первую операцию: $1+4=5$, $5-5=0$, получится $50$. К каждому числу $60$ применим вторую операцию: $6-5=1$, $0+5=5$, получится $15$. Все результаты двузначные. Сравним суммы:

$$S=15\cdot 27+60\cdot 21=405+1260=1665,50\cdot 27+15\cdot 21=1350+315=1665.$$

Суммы равны и $1665<1801$ — все условия выполнены.

Оценка и пример совпадают, поэтому наибольшее количество чисел равно $48$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $48$.