ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — стереометрия

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD,$ точка $K$ — середина $SA.$

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha .$

б) Найдите объем пирамиды $MABF$, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ }$ и $AB=8.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD,$ точка $K$ — середина $SA.$

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha .$

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ }$ и $AB=6.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD,$ точка $K$ — середина $SA.$

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha .$

б) Найдите объем пирамиды $MABF$, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $45^{\circ }$ и $AB=8.$

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $4\sqrt{13},$ а боковое ребро $SA$ равно 14. На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=2:5.$ Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $BC.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC.$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B,$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1,$ причём $B{B}_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_1$ пересекает ось цилиндра.

a) Докажите, что угол $AB{C}_1$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=21,B{B}_1=13,$ $B_1{C}_1=28.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 10. На ребрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM=AK=6.$

а) Докажите что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $16:9.$

б) Найти косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK.$

Основанием прямой треугольной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом $B,$ катеты которого равны 10. Боковые рёбра призмы равны 10. На рёбрах $A{A}_1$ и $C{C}_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=3,CN=2.$

а) Докажите, что плоскость $MN{B}_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $MNB{B}_1.$

В правильном тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 10. На ребрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM=AK=8.$

а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $16:9.$

б) Найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $CMK.$

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $K$ — середина ребра $B_1{C}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B,K$ и $D.$

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $\alpha$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $\alpha ,$ если ребро куба равно 3.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, $M$ — середина $AB$, $K$ — середина $SD$.

а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $(SBC)$.

б) Найдите высоту пирамиды, если $AB=24$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания равен $30^{\circ }$.

В основании прямой треугольной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. Через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ будет прямоугольная трапеция.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если высота призмы равна $12$, $AB=10\sqrt{2}$.

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ точка $K$ — середина ребра $A_1{B}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A,K$ и $C.$

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 6.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $4\sqrt{11},$ а боковое ребро $SA$ равно 12. На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=1:5.$ Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $BC.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC.$

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $A{A}_1$ и $A_1{B}_1$ соответственно. Известно, что $AM=3M{A}_1,$ $A_{1}K=K{B}_1.$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AB{B}_1{A}_1.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1.$

б) Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $\alpha ,$ если все ребра призмы равны 16.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC,$ $AP:AB=3:4.$ На апофеме грани $BCP$ отметили точку $K,$ которая делит эту апофему в отношении $1:4,$ считая от точки $P.$ Через точки $A$ и $K$ параллельно прямой $BC$ проведена плоскость $\alpha .$

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна апофеме грани $BCP.$

б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha .$

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $8\sqrt{6},$ а боковое ребро $SA$ равно 14. На рёбрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=2:5.$ Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $BC.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $SBC.$

Основанием прямой треугольной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом $B,$ катеты которого равны 6. Боковые рёбра призмы равны 6. На рёбрах $A{A}_1$ и $C{C}_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM=2,CN=1.$

а) Докажите, что плоскость $MN{B}_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра $MNB{B}_1.$

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $BC$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ будет трапеция.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$, если боковое ребро призмы равно $13$, а сторона основания равна $12$.

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. На середине ребра $BC$ взята точка $M$. Через точки $A,M$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, пересекающая ребро $A_1{D}_1$ в точке $K$.

а) Докажите, что $A{C}_1\perp KM$.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $\alpha$, если объём куба равен $8$.

В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Боковое ребро $SB$ перпендикулярно плоскости основания. Точки $M$ и $K$ являются серединами рёбер $SA$ и $BC$ соответственно

а) Докажите, что $MK$ — биссектриса угла $BMC$.

б) Найдите угол между прямыми $SB$ и $MK$, если известно, что $AC=6$, а $SB=8$.

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $K$ — середина ребра $B_1{C}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B,K$ и $D.$

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $\alpha$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $\alpha ,$ если ребро куба равно 6.

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB.$ Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha ,$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K.$

а) Докажите, что $K$ — середина ребра $SD.$

б) Найдите объем пирамиды $SABCD,$ если $AB=12,$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^{\circ }.$

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $K,P,M-$ центры граней $A{A}_1{B}_{1}B,B{B}_1{C}_{1}C,ABCD$ соответственно.

а) Докажите, что $D_{1}KPM-$ правильная пирамида.

б) Найдите объём этой пирамиды, если ребро куба равно $24.$

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $P$ — середина ребра $C{C}_1$. Плоскость $PB{A}_1$ пересекает ребро $C_1{D}_1$ в точке $Q$.

а) Докажите, что $Q$ — середина $C_1{D}_1$.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $PB{A}_1$, если объём куба равен $216.$