Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Задачи с сюжетом средняя 2027 развёрнутое

Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.

a) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?

б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?

в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ так, что $m_{1} ⩾ m_{2} ⩾ m_{3} .$ Найдите такое наименьшее число $d,$ что $m_{1} - m_{2} ⩽ d$ и $m_{2} - m_{3} ⩽ d .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Найдём общую массу камней:

$4 \cdot 100 + 5 \cdot 25 + 6 \cdot 4 = 400 + 125 + 24 = 549 т .$

Ключевое наблюдение: камней по $100$ т четыре, а групп три. Если бы в каждой группе было не больше одного такого камня, то разложить удалось бы не больше трёх. Значит, в какой-то группе лежат хотя бы два камня по $100$ т, и масса этой группы не меньше $200$ т.

а) Если массы групп равны, то каждая равна $549 : 3 = 183$ т. Но одна из групп весит не меньше $200 > 183$ т. Противоречие, значит, так разложить камни нельзя.

б) Пусть масса первой группы $x$ т. Тогда вторая весит $x - 50$ т, третья — $x + 50$ т, и

$x + (x - 50) + (x + 50) = 549 \Leftrightarrow 3 x = 549 \Leftrightarrow x = 183.$

Значит, массы групп должны быть $183$ , $133$ и $233$ т. Подберём такое разбиение:

первая группа: $1$ камень по $100$ т, $3$ камня по $25$ т и $2$ камня по $4$ т, масса $100 + 75 + 8 = 183$ т;

вторая группа: $1$ камень по $100$ т, $1$ камень по $25$ т и $2$ камня по $4$ т, масса $100 + 25 + 8 = 133$ т;

третья группа: $2$ камня по $100$ т, $1$ камень по $25$ т и $2$ камня по $4$ т, масса $200 + 25 + 8 = 233$ т.

Проверим, что использованы все камни: по $100$ т — $1 + 1 + 2 = 4$ , по $25$ т — $3 + 1 + 1 = 5$ , по $4$ т — $2 + 2 + 2 = 6$ . Первая группа на $50$ т тяжелее второй и на $50$ т легче третьей. Значит, так разложить можно.

в) Нужно найти наименьшее $d$ , при котором камни можно разложить так, чтобы обе разности $m_{1} - m_{2}$ и $m_{2} - m_{3}$ были не больше $d$ .

Оценка. Самая тяжёлая группа весит не меньше группы с двумя стотонными камнями, поэтому $m_{1} ⩾ 200$ и

$m_{2} + m_{3} = 549 - m_{1} ⩽ 349.$

Предположим, что обе разности не больше $16$ (массы целые, поэтому это то же самое, что обе разности меньше $17$ ). Тогда

$m_{2} ⩾ m_{1} - 16 ⩾ 184, m_{3} ⩾ m_{2} - 16 ⩾ 168,$

и $m_{2} + m_{3} ⩾ 184 + 168 = 352 > 349$ . Противоречие. Значит, при любом разбиении хотя бы одна из разностей не меньше $17$ , и $d ⩾ 17$ .

Пример. Разложим камни так:

первая группа: $2$ камня по $100$ т, масса $200$ т;

вторая группа: $1$ камень по $100$ т, $3$ камня по $25$ т и $2$ камня по $4$ т, масса $100 + 75 + 8 = 183$ т;

третья группа: $1$ камень по $100$ т, $2$ камня по $25$ т и $4$ камня по $4$ т, масса $100 + 50 + 16 = 166$ т.

Использованы все камни: $2 + 1 + 1 = 4$ , $0 + 3 + 2 = 5$ , $0 + 2 + 4 = 6$ . Разности $200 - 183 = 17$ и $183 - 166 = 17$ , так что при $d = 17$ условие выполнено.

Ответ: а) нет; б) да; в) $17$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20