Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Свойства чисел средняя 2026 развёрнутое

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $\frac{1}{3}$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $\frac{9}{19}$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

a) Могло ли быть в группе 14 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 25 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и 6?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Введём обозначения. Пусть в группе $m$ мальчиков и $d$ девочек. Пусть театр посетили $t$ мальчиков и $d_{1}$ девочек, а кино — $k$ мальчиков и $d_{2}$ девочек. Девочек в театре и в кино не больше, чем всего девочек: $d_{1} ⩽ d$ , $d_{2} ⩽ d$ .

Каждый учащийся побывал хотя бы в одном месте, поэтому каждый мальчик посчитан хотя бы в одном из чисел $t$ и $k$ (мальчик, сходивший в оба места, посчитан дважды). Значит,

$m ⩽ t + k .$

Перепишем условия задачи. Доля мальчиков в театре не больше $\frac{1}{3}$ :

$\frac{t}{t + d _{1}} ⩽ \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3 t ⩽ t + d_{1} \Leftrightarrow 2 t ⩽ d_{1} .$

Доля мальчиков в кино не больше $\frac{9}{19}$ :

$\frac{k}{k + d _{2}} ⩽ \frac{9}{19} \Leftrightarrow 19 k ⩽ 9 k + 9 d_{2} \Leftrightarrow 10 k ⩽ 9 d_{2} .$

Здесь мы умножали на положительные знаменатели. Если в театр (или в кино) никто не ходил, то соответствующие числа равны нулю и неравенство тоже верно. Итак,

$t ⩽ \frac{d _{1}}{2} ⩽ \frac{d}{2}, k ⩽ \frac{9 d _{2}}{10} ⩽ \frac{9 d}{10} .$

Отсюда получаем главную оценку:

$m ⩽ t + k ⩽ \frac{d}{2} + \frac{9 d}{10} = \frac{7 d}{5} . (*)$

а) Да, могло. Пример: $5$ мальчиков ходили только в театр, $9$ мальчиков — только в кино, а $11$ девочек — и в театр, и в кино. Всего $5 + 9 + 11 = 25$ учащихся, из них $14$ мальчиков.

Театр посетили $5 + 11 = 16$ человек, из них $5$ мальчиков: $\frac{5}{16} ⩽ \frac{1}{3}$ , так как $5 \cdot 3 = 15 ⩽ 16$ .

Кино посетили $9 + 11 = 20$ человек, из них $9$ мальчиков: $\frac{9}{20} < \frac{9}{19}$ , так как у первой дроби знаменатель больше.

Все условия выполнены.

б) Оценка. Предположим, что мальчиков $m ⩾ 15$ . Тогда девочек $d = 25 - m ⩽ 10$ . Из полученных неравенств

$t ⩽ \frac{d}{2} ⩽ 5, k ⩽ \frac{9 d}{10} ⩽ 9.$

Значит, $t + k ⩽ 14 < 15 ⩽ m$ , то есть хотя бы один мальчик не был ни в театре, ни в кино. Это противоречит условию. Поэтому $m ⩽ 14$ .

Тот же вывод даёт оценка $(*)$ : $m ⩽ \frac{7}{5} (25 - m)$ , откуда $12 m ⩽ 175$ , $m ⩽ 14 \frac{7}{12}$ , и так как $m$ целое, $m ⩽ 14$ .

Пример. В пункте а) построена группа из $25$ учащихся, в которой $14$ мальчиков. Значит, значение $14$ достигается.

в) Оценка. Девочки в группе есть: если $d = 0$ , то по $(*)$ и $m = 0$ , а группа не пустая. Из $(*)$ получаем

$m + d ⩽ \frac{7 d}{5} + d = \frac{12 d}{5} .$

Поэтому доля девочек

$\frac{d}{m + d} ⩾ \frac{d}{\frac{12}{5} d} = \frac{5}{12} .$

Пример. Чтобы доля была ровно $\frac{5}{12}$ , все неравенства должны обратиться в равенства: каждый мальчик ходит ровно в одно место, все девочки ходят и туда, и туда, $t = \frac{d}{2}$ , $k = \frac{9 d}{10}$ . Возьмём $d = 10$ , тогда $t = 5$ , $k = 9$ .

Итак, $5$ мальчиков ходили только в театр, $9$ мальчиков — только в кино, $10$ девочек — и в театр, и в кино. В театре $5$ мальчиков из $15$ человек: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ — условие выполнено. В кино $9$ мальчиков из $19$ человек: ровно $\frac{9}{19}$ — условие выполнено. Доля девочек равна

$\frac{10}{5 + 9 + 10} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12} .$

Значит, наименьшая доля девочек равна $\frac{5}{12}$ .

Ответ: а) да; б) $14$ ; в) $\frac{5}{12}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20