ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — свойства чисел

Разбор — 4 балла

Пусть $s$ — количество синих карт, $k$ — количество красных. По условию наибольшее красное число равно $3s$, а наибольшее синее — $k$.

Красные числа различны, кратны $3$, больше $-60$ и не больше $3s$. Наименьшее кратное $3$ число, большее $-60$, — это $-57$. Чисел, кратных $3$, от $-57$ до $3s$ ровно

$$\frac{3s-(-57)}{3}+1=s+20,$$

поэтому

$$k⩽s+20.(1)$$

Синие числа различны, кратны $5$, больше $-60$ и не больше $k$, причём $k$ само написано на синей карте, то есть кратно $5$. Наименьшее кратное $5$ число, большее $-60$, — это $-55$. Чисел, кратных $5$, от $-55$ до $k$ ровно

$$\frac{k-(-55)}{5}+1=\frac{k+60}{5},$$

поэтому

$$s⩽\frac{k+60}{5}\iff k⩾5s-60.(2)$$

а) Да, может. Пример: $5$ красных карт с числами $-9,-6,-3,0,3$ и одна синяя карта с числом $5$.

Красные числа различны, кратны $3$ и больше $-60$; наибольшее из них $3=3\cdot 1$ — утроенное количество синих карт. Синее число $5$ кратно $5$ и больше $-60$; оно наибольшее синее и равно количеству красных карт. Всего карт $6$.

б) Нет, не может. Если $k=s+30$, то по неравенству $(1)$ получаем $s+30⩽s+20$ — противоречие.

в) Оценка. Из $(1)$ и $(2)$:

$$5s-60⩽k⩽s+20\Rightarrow 4s⩽80\Rightarrow s⩽20.$$

Тогда всего карт

$$k+s⩽(s+20)+s=2s+20⩽60.$$

Пример. Пусть синих карт $20$, красных $40$.

Синие карты: $-55,-50,-45,\dots ,35,40$ — это $\frac{40+55}{5}+1=20$ различных чисел, кратных $5$ и больших $-60$; наибольшее $40$ равно количеству красных карт.

Красные карты: $-57,-54,-51,\dots ,57,60$ — это $\frac{60+57}{3}+1=40$ различных чисел, кратных $3$ и больших $-60$; наибольшее $60=3\cdot 20$ — утроенное количество синих карт.

Все условия выполнены, карт $60$. Значит, $60$ карт достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $60$.