Юра и Полина играют в игру с числами. Юра выписывает на доску 5… — 20 задание ЕГЭ профиль

№20 Числа на доске и карточках средняя 2026 развёрнутое

Юра и Полина играют в игру с числами. Юра выписывает на доску $5$ различных натуральных чисел и находит их среднее арифметическое. Полина выбирает $2$ числа из чисел Юры и находит их среднее арифметическое. Далее она выбирает третье число из чисел Юры и находит среднее арифметическое между первым полученным ей результатом и выбранным числом. Далее она находит среднее арифметическое полученного результата и четвертого нового числа из написанных Юрой. Наконец, она находит среднее арифметическое полученного результата и оставшегося числа, написанного Юрой.

а) Могут ли результаты у Юры и Полины получиться одинаковыми?

б) Может ли результат Полины быть в $3$ раза больше, чем у Юры?

в) В какое максимальное натуральное число раз результат Полины может быть больше, чем у Юры?

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Пусть $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ — числа Юры в том порядке, в котором их брала Полина. Результат Юры

$M = \frac{a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5}}{5} .$

Полина сначала находит $\frac{a _{1} + a _{2}}{2}$ , затем каждый раз складывает результат с новым числом и делит пополам:

$P = (((\frac{a _{1} + a _{2}}{2} + a_{3}) \cdot \frac{1}{2} + a_{4}) \cdot \frac{1}{2} + a_{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{a _{1}}{16} + \frac{a _{2}}{16} + \frac{a _{3}}{8} + \frac{a _{4}}{4} + \frac{a _{5}}{2} .$

То есть

$P = \frac{a _{1} + a _{2} + 2 a _{3} + 4 a _{4} + 8 a _{5}}{16} .$

а) Возьмём числа $5, 3, 2, 1, 4$ в этом порядке. У Юры

$M = \frac{5 + 3 + 2 + 1 + 4}{5} = 3.$

Полина последовательно получает

$\frac{5 + 3}{2} = 4, \frac{4 + 2}{2} = 3, \frac{3 + 1}{2} = 2, \frac{2 + 4}{2} = 3.$

Результаты одинаковы, значит, такое может быть.

б) Предположим, что $P = 3 M$ :

$\frac{a _{1} + a _{2} + 2 a _{3} + 4 a _{4} + 8 a _{5}}{16} = \frac{3 ( a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} )}{5} .$

Умножим обе части на $80$ :

$5 a_{1} + 5 a_{2} + 10 a_{3} + 20 a_{4} + 40 a_{5} = 48 a_{1} + 48 a_{2} + 48 a_{3} + 48 a_{4} + 48 a_{5},$

$43 a_{1} + 43 a_{2} + 38 a_{3} + 28 a_{4} + 8 a_{5} = 0.$

Слева сумма натуральных чисел с положительными коэффициентами, она больше нуля. Противоречие, значит, результат Полины не может быть в $3$ раза больше.

в) Пусть $P = k M$ , где $k$ — натуральное. Так же умножим равенство на $80$ и перенесём всё в одну сторону:

$(16 k - 5) a_{1} + (16 k - 5) a_{2} + (16 k - 10) a_{3} + (16 k - 20) a_{4} + (16 k - 40) a_{5} = 0.$

Оценка. При $k ⩾ 3$ все коэффициенты положительны (наименьший из них $16 k - 40 ⩾ 8$ ), и левая часть больше нуля, как в пункте б). Значит, $k ⩽ 2$ .

Пример. При $k = 2$ равенство принимает вид $27 a_{1} + 27 a_{2} + 22 a_{3} + 12 a_{4} = 8 a_{5}$ . Возьмём числа $1, 3, 2, 4, 25$ в этом порядке. У Юры

$M = \frac{1 + 3 + 2 + 4 + 25}{5} = \frac{35}{5} = 7.$

Полина последовательно получает

$\frac{1 + 3}{2} = 2, \frac{2 + 2}{2} = 2, \frac{2 + 4}{2} = 3, \frac{3 + 25}{2} = 14.$

Числа различны и натуральны, и $14 = 2 \cdot 7$ . Значит, отношение $2$ достигается.

Ответ: а) да; б) нет; в) $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Сообщить об ошибке

Ещё задания №20