ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — числа на доске и карточках

Разбор — 4 балла

Главное наблюдение: если число $a$ имеет $k$ цифр, то $10^{k-1}⩽a<10^k$, и после возведения в квадрат

$$10^{2k-2}⩽a^2<10^{2k}.$$

Значит, квадрат $k$-значного числа имеет $2k-1$ или $2k$ цифр. Кроме того, чем больше число, тем больше (или столько же) цифр у него и у его степеней.

Если первое число равно $a$, то на доске написаны числа $a$, $a^2$, $a^4$, $a^8$, $\dots$ — каждое следующее является квадратом предыдущего.

а) Да, могли. Например, $10$, $100$, $10000$: здесь $100=10^2$, $10000=100^2$, а цифр всего $2+3+5=10$.

б) Нет, не могли. Разберём, сколько цифр у первого числа $a$.

Если $a$ однозначное, то $a^2⩽81$ имеет не больше $2$ цифр, $a^4⩽6561$ — не больше $4$ цифр. Всего цифр не больше $1+2+4=7<12$.

Если $a$ имеет хотя бы $3$ цифры, то $a^2$ имеет хотя бы $5$ цифр, а $a^4$ — хотя бы $9$. Всего цифр не меньше $3+5+9=17>12$.

Остаётся двузначное $a$. Его квадрат имеет $3$ или $4$ цифры.

Если у $a^2$ три цифры, то у $a^4$ — пять или шесть, и всего цифр $2+3+5=10$ или $2+3+6=11$.

Если у $a^2$ четыре цифры, то у $a^4$ — семь или восемь, и всего цифр $2+4+7=13$ или $2+4+8=14$.

Ни в одном случае не получается $12$ цифр.

в) При $n=4$ на доске написаны $a$, $a^2$, $a^4$, $a^8$. Если $a=1$, то все числа равны $1$ и цифр всего $4$, поэтому $a⩾2$. Тогда $a<a^2<a^4<a^8$, и самое маленькое число на доске — первое. Значит, нужно найти наименьшее возможное $a$. Покажем, что это $18$.

Оценка. Если $a$ однозначное, то цифр не больше $1+2+4+8=15<22$. Если $a$ хотя бы трёхзначное, то цифр не меньше $3+5+9+17=34>22$. Значит, $a$ двузначное.

Пусть $a⩽17$. Тогда

$$a^2⩽17^2=289,a^4⩽289^2=83521,a^8⩽83521^2<90000^2=8,1\cdot 10^9<10^{10}.$$

Значит, у $a^2$ не больше $3$ цифр, у $a^4$ — не больше $5$, у $a^8$ — не больше $10$, а всего цифр не больше $2+3+5+10=20<22$. Поэтому $a⩾18$, и любое число на доске не меньше $18$.

Пример. При $a=18$:

$$18^2=324,324^2=104976,104976^2=11019960576.$$

Последнее число одиннадцатизначное: оно больше $100000^2=10^{10}$ и меньше $110000^2=1,21\cdot 10^{10}<10^{11}$. Всего цифр $2+3+6+11=22$, а наименьшее число на доске — $18$.

Оценка и пример совпадают, поэтому самое маленькое число равно $18$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $18$.