ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть в большом кляссере $a$ ячеек, в маленьком $b$ ячеек, а монет $x$. По условию

$$150<a<160,100<b<120.$$

В $k$ больших кляссерах $ka$ ячеек, и $5$ из них пустые, поэтому $x=ka-5$. Так же $x=(k+2)b-5$. Отсюда

$$ka=(k+2)b.$$

Оценим $k$. С одной стороны, $(k+2)b=ka<160k$, а $(k+2)b>100(k+2)$, поэтому $100(k+2)<160k$, то есть $60k>200$ и $k>3\frac{1}{3}$. С другой стороны, $(k+2)b<120(k+2)$, а $ka>150k$, поэтому $150k<120k+240$, то есть $30k<240$ и $k<8$. Итак,

$$4⩽k⩽7.$$

а) Нет, не может: выше показано, что $k⩾4$. Проверим и напрямую: при $k=3$ имеем $3a=5b$. Число $3a$ делится на $5$, а $3$ на $5$ не делится, поэтому $a$ кратно $5$, и из $150<a<160$ получаем $a=155$. Тогда $b=\frac{3\cdot 155}{5}=93<100$ — противоречие.

б) Оценка. Если $k⩾5$, то $x=ka-5⩾5\cdot 151-5=750$.

Если $k=4$, то $4a=6b$, то есть $2a=3b$. Число $2a$ делится на $3$, значит, $a$ кратно $3$; на интервале $(150;160)$ это $153$, $156$, $159$. Поэтому $x=4a-5⩾4\cdot 153-5=607$.

В любом случае $x⩾607$.

Пример. $a=153$, $b=102$, $k=4$. Тогда

$$x=4\cdot 153-5=607,(4+2)\cdot 102-5=612-5=607,$$

и $150<153<160$, $100<102<120$. Значит, $607$ монет раскладываются в $4$ больших кляссера и в $6$ маленьких, и в обоих случаях в одном кляссере остаётся $5$ пустых ячеек.

в) Оценка. Если $k⩽6$, то $x=ka-5⩽6\cdot 159-5=949$.

Если $k=7$, то $7a=9b$. Число $7a$ делится на $9$, а $7$ и $9$ взаимно просты, поэтому $a$ кратно $9$; на интервале $(150;160)$ это только $153$. Тогда $x=7\cdot 153-5=1066$.

В любом случае $x⩽1066$.

Пример. $a=153$, $b=\frac{7\cdot 153}{9}=119$, $k=7$. Тогда

$$x=7\cdot 153-5=1066,(7+2)\cdot 119-5=1071-5=1066,$$

и $100<119<120$. Значит, $1066$ монет возможно.

Ответ: а) нет; б) $607$; в) $1066$.