ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Пусть Юра записал первым число $A$, а вторым — число $B$ (оба двузначные). Приписывание двузначного числа справа умножает первое число на 100, поэтому получилось четырёхзначное число $100A+B$.

Полина делит его на оба числа, то есть на $A$ и на $B$ (порядок не важен), — это то же, что разделить на произведение $AB$. Результат Полины:

$$R=\frac{100A+B}{AB}=\frac{100A}{AB}+\frac{B}{AB}=\frac{100}{B}+\frac{1}{A}.$$

а) Да, может. Пусть Юра придумал числа 17 и 34 (число 17 оканчивается семёркой) и записал число 1734. Тогда

$$1734:17=102,102:34=3.$$

Как найти такой пример. Из $R=3$ получаем $100A+B=3AB$, откуда $B=A(3B-100)$, то есть $B$ делится на $A$. Положим $B=kA$: тогда $100A+kA=3k{A}^2$, $100+k=3kA$, $A=\frac{100+k}{3k}$. При $k=2$ получаем $A=\frac{102}{6}=17$, $B=34$.

б) Нет. Оба числа двузначные, поэтому $A⩾10$ и $B⩾10$. Тогда $\frac{100}{B}⩽\frac{100}{10}=10$ и $\frac{1}{A}⩽\frac{1}{10}$, и значит,

$$R=\frac{100}{B}+\frac{1}{A}⩽10+0,1=10,1<17,5.$$

Результат Полины никогда не превосходит $10,1$, поэтому получить $17,5$ нельзя.

в) Оценка. Выражение $R=\frac{100}{B}+\frac{1}{A}$ уменьшается при увеличении $A$ и при увеличении $B$. Одно из чисел оканчивается семёркой, а наименьшее двузначное число с последней цифрой 7 — это 17. Рассмотрим оба случая.

Если семёркой оканчивается $A$, то $A⩾17$, $B⩾10$ и

$$R⩽\frac{100}{10}+\frac{1}{17}=10\frac{1}{17}.$$

Если семёркой оканчивается $B$, то $B⩾17$, $A⩾10$ и

$$R⩽\frac{100}{17}+\frac{1}{10}=5\frac{15}{17}+\frac{1}{10}<6<10\frac{1}{17}.$$

В обоих случаях $R⩽10\frac{1}{17}$.

Пример. Пусть Юра придумал числа 17 и 10 и записал число 1710. Тогда

$$R=\frac{1710}{17\cdot 10}=\frac{171}{17}=10\frac{1}{17}.$$

Значит, наибольшее число, которое может получиться у Полины, равно $10\frac{1}{17}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $10\frac{1}{17}$.