ЕГЭ по профильной математике 2027 Как решать задание №20 — теория чисел

Разбор — 4 балла

Выбранные числа запишем по возрастанию: $a_1<a_2<\dots <a_9$. Тогда $A=a_5$, а $B=\frac{a_1+a_2+\dots +a_9}{9}$.

а) Приведём пример. Возьмём числа

$$1,3,5,7,9,11,13,15,19.$$

Это девять различных нечётных чисел от $1$ до $47$, записанных по возрастанию. Пятое из них $A=9$. Их сумма равна $1+3+5+7+9+11+13+15+19=83$, поэтому

$$B=\frac{83}{9},B-A=\frac{83}{9}-\frac{81}{9}=\frac{2}{9}.$$

Значит, может.

б) Обозначим через $C$ сумму четырёх наименьших выбранных чисел, а через $D$ — сумму четырёх наибольших. Тогда сумма всех девяти чисел равна $C+A+D$, и

$$B-A=\frac{C+A+D}{9}-A=\frac{C+D-8A}{9}.$$

Равенство $B-A=\frac{5}{9}$ означает $C+D-8A=5$. Но $C+D$ — сумма восьми нечётных чисел, то есть число чётное. Число $8A$ тоже чётное. Поэтому разность $C+D-8A$ чётна и не может равняться нечётному числу $5$.

Значит, не может.

в) Оценка. По пункту б) $9(B-A)=C+D-8A$. Оценим каждое слагаемое.

Четыре наименьших числа — различные нечётные числа, меньшие $A$. Наибольшие такие числа — $A-2$, $A-4$, $A-6$, $A-8$, поэтому

$$C⩽(A-2)+(A-4)+(A-6)+(A-8)=4A-20.$$

Четыре наибольших числа — различные нечётные числа, не больше $47$, поэтому

$$D⩽41+43+45+47=176.$$

Кроме того, перед $A$ стоят четыре различных нечётных натуральных числа, а наименьшие из возможных — $1,3,5,7$. Значит, $A⩾9$. Получаем

$$9(B-A)=C+D-8A⩽4A-20+176-8A=156-4A⩽156-4\cdot 9=120,$$

откуда $B-A⩽\frac{120}{9}=\frac{40}{3}$.

Пример. Все оценки обращаются в равенства, если взять числа

$$1,3,5,7,9,41,43,45,47.$$

Здесь $A=9$, сумма равна $25+176=201$, поэтому $B=\frac{201}{9}=\frac{67}{3}$ и

$$B-A=\frac{67}{3}-\frac{27}{3}=\frac{40}{3}.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{40}{3}$.

Разбор — 4 балла

а) Приведём пример: $a=6$, $b=3$, $c=1$. Тогда

$$d=36+9+1-18-3-6=19.$$

Значит, существуют.

б) Выделим в $d$ полные квадраты. Удвоим выражение и сгруппируем слагаемые:

$$2d=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(a-c{)}^2.$$

Сделаем замену $x=a-b$, $y=b-c$ ($x$, $y$ — целые числа). Тогда $a-c=x+y$ и

$$2d=x^2+y^2+(x+y{)}^2=2x^2+2xy+2y^2,d=x^2+xy+y^2.$$

Разберём случаи по чётности $x$ и $y$.

Если $x$ и $y$ оба чётные, $x=2m$, $y=2k$, то $d=4(m^2+mk+k^2)$ делится на $4$.

Если ровно одно из чисел $x$, $y$ нечётно, то из $x^2$ и $y^2$ одно нечётное, другое чётное, а $xy$ чётно. Сумма $d$ нечётна.

Если $x$ и $y$ оба нечётные, то $x^2$, $xy$, $y^2$ — три нечётных числа, и их сумма $d$ нечётна.

Итак, $d$ либо нечётно, либо делится на $4$. Число $58=4\cdot 14+2$ чётно, но на $4$ не делится. Значит, таких $a$, $b$, $c$ не существует.

в) Выражение для $d$ не меняется при перестановке чисел $a$, $b$, $c$. Поэтому можно считать, что $a⩽b⩽c$. Обозначим $p=b-a⩾0$, $q=c-b⩾0$, $m=c-a=p+q$. По формуле из пункта б)

$$2d=p^2+q^2+m^2=(p+q{)}^2-2pq+m^2=2m^2-2pq,d=m^2-pq.$$

Так как $pq⩾0$, всегда $d⩽m^2$, а равенство будет при $p=0$ или $q=0$, то есть при $b=a$ или $b=c$.

Оценка. Числа двузначные, поэтому $a⩾10$, $c⩽99$ и $m⩽89$.

Пусть $m=89$. Тогда $p+q=89$ — нечётное число, значит, одно из чисел $p$, $q$ чётно, и $pq$ чётно. Число $89^2=7921$ нечётно, поэтому $d=7921-pq$ нечётно и на $4$ не делится. Значит, $m=89$ невозможно.

Пусть $m⩽88$. Тогда $d⩽m^2⩽88^2=7744$.

Итак, если $d$ делится на $4$, то $d⩽7744$.

Пример. $a=10$, $b=10$, $c=98$ (здесь $p=0$, $m=88$):

$$d=100+100+9604-100-980-980=7744=88^2.$$

Число $7744=4\cdot 1936$ делится на $4$, а все три числа двузначные.

Ответ: а) да; б) нет; в) $7744$.

Разбор — 4 балла

Обозначим сумму Васи через $V$ (по столбцам), а сумму Пети через $P$ (по строкам). Все числа таблицы — от $1$ до $6$.

а) Приведём пример. Первая строка состоит из шестёрок, вторая — из двоек, остальные четыре — из единиц:

$$\begin{array}{cccccc}6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 2& 2& 2& 2& 2& 2\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}$$

В каждом столбце есть единица, поэтому все минимумы по столбцам равны $1$ и $V=6$. Минимумы по строкам равны $6,2,1,1,1,1$, поэтому $P=12=2V$.

Значит, может.

б) Каждое число таблицы не меньше $1$, поэтому каждый минимум по столбцу не меньше $1$ и $V⩾6$. Каждое число не больше $6$, поэтому каждый минимум по строке не больше $6$ и $P⩽36$.

Пусть $P=6V$. Тогда $P⩾6\cdot 6=36$, а значит, $P=36$ и $V=6$. Равенство $P=36$ возможно, только если минимум каждой строки равен $6$, то есть все числа таблицы равны $6$. Но тогда и минимумы по столбцам равны $6$, и $V=36\ne 6$. Противоречие.

Значит, не может.

в) Оценка. Пусть $x$ — наименьшее число в таблице. В каждом столбце минимум не меньше $x$, поэтому $V⩾6x$. В строке, где стоит $x$, минимум равен $x$, а минимумы остальных пяти строк не больше $6$. Поэтому $P⩽x+30$. Получаем

$$\frac{P}{V}⩽\frac{x+30}{6x}=\frac{1}{6}+\frac{5}{x}⩽\frac{1}{6}+5=\frac{31}{6},$$

так как $x⩾1$.

Пример. Пять строк из шестёрок и одна строка из единиц:

$$\begin{array}{cccccc}6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}$$

Каждый столбец содержит единицу, поэтому $V=6$. Минимумы строк — пять шестёрок и единица, поэтому $P=31$. Отношение $\frac{P}{V}=\frac{31}{6}$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{31}{6}$.