ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №20 — задачи с сюжетом

Разбор — 4 балла

Найдём общую сумму и её четверть:

$$S=2n+5(1000-n)=5000-3n,\frac{S}{4}=1250-0,75n.$$

Условие «сумма любых $300$ монет больше $\frac{S}{4}$» равносильно тому, что наименьшая возможная сумма $300$ монет больше $\frac{S}{4}$. Наименьшая сумма получается, если брать как можно больше двухрублёвых монет:

• при $n⩾300$ можно взять $300$ двухрублёвых, наименьшая сумма равна $2\cdot 300=600$;
• при $n<300$ берём все $n$ двухрублёвых и $300-n$ пятирублёвых (их хватает, так как $1000-n>300-n$), наименьшая сумма равна $2n+5(300-n)=1500-3n$.

а) При $n=100$ общая сумма $S=200+4500=4700$, её четверть $1175$. Наименьшая сумма $300$ монет — $100$ двухрублёвых и $200$ пятирублёвых:

$$200+1000=1200>1175.$$

Любые $300$ монет дают не меньше $1200$ рублей, поэтому условие выполнено. Ответ: да.

б) При $n=500$ общая сумма $S=1000+2500=3500$, её четверть $875$. Но можно взять $300$ двухрублёвых монет на сумму $600<875$, и условие нарушится. Ответ: нет.

в) Разберём два случая.

Случай $n⩾300$. Условие: $600>1250-0,75n$, то есть $0,75n>650$, $n>\frac{2600}{3}=866\frac{2}{3}$. С учётом $n⩽999$ подходят $n=867,868,\dots ,999$ — это $999-867+1=133$ значения.

Случай $n⩽299$. Условие: $1500-3n>1250-0,75n$, то есть $250>2,25n$, $n<\frac{1000}{9}=111\frac{1}{9}$. Подходят $n=1,2,\dots ,111$ — это $111$ значений.

В каждом случае мы решили равносильное условию неравенство, поэтому найденные $n$ и только они подходят. Всего $133+111=244$ значения.

Ответ: а) да; б) нет; в) $244$.