ЕГЭ по профильной математике 2027 Сдай профиль
на 90+

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu =2$ моля воздуха объёмом $V_1=18$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha \nu T{\log }_2\frac{V_1}{V_2},$ где $\alpha =9,15\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot K}$ — постоянная, а $T=300K$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 980 Дж.

Найдите значение выражения $\left(\frac{3}{4}+2\frac{3}{8}\right)\cdot 25,6$.

Всего выпущено $50000$ лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

$$\begin{array}{lccccc}\text{Выигрыш}& 100\text{ р.}& 500\text{ р.}& 1000\text{ р.}& 50\text{ тыс. р.}& 100\text{ тыс. р.}\\ \text{Число выигрышных билетов}& 1000& 100& 50& 10& 2\end{array}$$

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным 200?

б) Может ли $N$ быть равным 109?

в) Найдите наибольшее значение $N$.

Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в $6$ км от места отправления. Первый идёт со скоростью $4,5$ км/ч, а второй — со скоростью $5,5$ км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. Сколько метров от опушки до места их встречи?

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.

В основании прямой треугольной призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. Через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ будет прямоугольная трапеция.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если высота призмы равна $12$, $AB=10\sqrt{2}$.

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{x^2-2x+a^2-4a}{x^2-a}=0$$

имеет ровно два различных решения.

Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует $26$ спортсменов, среди которых $7$ спортсменов из России, в том числе Георгий Бочкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Георгий Бочкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.

Найдите корень уравнения $\sqrt{76-2x}=8$.

a) Решите уравнение

$$2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}\sin x=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}\cos x.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi ;-4\pi ].$