ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Радиусы $OA$ и $OB$, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла $NA$ и $NB$. Значит, расстояния от точки $O$ до сторон угла равны радиусу, то есть $O$ равноудалена от сторон угла и лежит на его биссектрисе. Итак, $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Поэтому треугольник $ANB$ равнобедренный, и его биссектриса, проведённая из вершины $N$, является высотой: $NO\perp AB$.

Угол $BAC$ — вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому $\angle BAC=90^{\circ }$, то есть $AC\perp AB$.

Прямые $NO$ и $AC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$ и не совпадают ($NO$ пересекает $AB$ в середине отрезка $AB$, а $AC$ — в точке $A$). Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, поэтому $AC\parallel NO$, то есть прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $ANB$. Что и требовалось доказать.

б) В четырёхугольнике $ANBO$ углы $OAN$ и $OBN$ прямые (радиусы перпендикулярны касательным). Их сумма равна $180^{\circ }$, а это противоположные углы, поэтому около четырёхугольника $ANBO$ можно описать окружность.

Вписанные в эту окружность углы $ANO$ и $ABO$ опираются на одну и ту же дугу $AO$, поэтому они равны. Точка $O$ лежит на отрезке $BC$, так что $\angle ABO=\angle ABC$:

$$\angle ANO=\angle ABC.$$

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC$:

• $\angle NAO=\angle BAC=90^{\circ }$;
• $\angle ANO=\angle ABC$.

По двум углам $△ANO\sim △ABC$, причём вершине $N$ соответствует $B$, вершине $A$ — $A$, вершине $O$ — $C$. Отношения соответственных сторон равны:

$$\frac{NO}{BC}=\frac{AO}{AC}=\frac{AN}{AB}.$$

Найдём $BC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$$BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30.$$

$O$ — центр окружности, поэтому $AO=\frac{1}{2}BC=15$. Из первого равенства отношений:

$$NO=\frac{AO\cdot BC}{AC}=\frac{15\cdot 30}{18}=25.$$

Проверим другим способом. Пусть $H$ — середина $AB$; по пункту а) $NO\perp AB$ в точке $H$, и $AH=12$. В прямоугольном треугольнике $AHO$ катет $OH=\sqrt{15^2-12^2}=9$. В прямоугольном треугольнике $NAO$ отрезок $AH$ — высота к гипотенузе, поэтому $A{O}^2=OH\cdot ON$ и $ON=\frac{225}{9}=25$.

Ответ: б) $25$.