ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$, значит, основания трапеции — $AD$ и $BC$. Продлим отрезок $AE$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольники $AED$ и $FEC$:

• $DE=EC$, так как $E$ — середина $CD$;
• $\angle AED=\angle FEC$ как вертикальные;
• $\angle EDA=\angle ECF$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$, $BF$ и секущей $CD$.

Значит, треугольники $AED$ и $FEC$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $AE=EF$ и $CF=AD$. Точка $F$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$.

Рассмотрим треугольники $BCO$ и $BFE$. Угол $B$ у них общий, а $\angle BCO=\angle BFE$ как соответственные при параллельных прямых $CO$ и $FE$ (прямые $KC$ и $AE$ параллельны) и секущей $BF$. Треугольники подобны по двум углам:

$$\frac{OC}{EF}=\frac{BO}{BE}.$$

Аналогично треугольники $BKO$ и $BAE$ подобны: угол $B$ общий, $\angle BKO=\angle BAE$ как соответственные при $KO\parallel AE$ и секущей $AB$. Поэтому

$$\frac{KO}{AE}=\frac{BO}{BE}.$$

Правые части равенств совпадают, значит, $\frac{OC}{EF}=\frac{KO}{AE}$. Так как $AE=EF$, получаем $OC=KO$. Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $AED$ и $FEC$ равны, поэтому равны и их площади. Трапеция $ABCD$ состоит из четырёхугольника $ABCE$ и треугольника $AED$, а треугольник $ABF$ — из того же четырёхугольника $ABCE$ и треугольника $FEC$. Значит,

$$S_{ABCD}=S_{ABCE}+S_{AED}=S_{ABCE}+S_{FEC}=S_{ABF}.$$

Треугольники $BCK$ и $BFA$ подобны: угол $B$ общий, $\angle BCK=\angle BFA$ как соответственные при $KC\parallel AF$ и секущей $BF$. Коэффициент подобия $k=\frac{BC}{BF}$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$k^2=\frac{S_{BCK}}{S_{BFA}}=\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{9}{64}\Rightarrow k=\frac{3}{8}.$$

Из равенства треугольников $CF=AD=20$, поэтому $BF=BC+CF=BC+20$. Получаем уравнение

$$\frac{BC}{BC+20}=\frac{3}{8}\iff 8BC=3BC+60\iff 5BC=60\iff BC=12.$$

Ответ: б) $12$.