В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Треугольники средняя 2026 развёрнутое

В тупоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $A B C$ . $B P$ и $C P$ — перпендикуляры к сторонам $A B$ и $A C$ соответственно, причём $C P$ пересекает сторону $A B$ . Высота $C H$ треугольника $A C P$ пересекает отрезок $A B$ в точке $K$ .

а) Докажите, что острые углы $A B C$ и $A C H$ равны.

б) Найдите длину стороны $A C$ , если $A K = 6$ , $B K = 18$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность с диаметром AP, высота CH

а) По условию $B P ⊥ A B$ и $C P ⊥ A C$ , то есть

$∠ A B P = ∠ A C P = 9 0^{\circ} .$

Из точек $B$ и $C$ отрезок $A P$ виден под прямым углом. Точки, из которых отрезок виден под прямым углом, лежат на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре. Значит, точки $A$ , $C$ , $B$ , $P$ лежат на окружности с диаметром $A P$ .

По условию отрезок $C P$ пересекает сторону $A B$ , то есть отрезки $A B$ и $C P$ — пересекающиеся диагонали четырёхугольника $A C B P$ . Четырёхугольник с пересекающимися диагоналями выпуклый, поэтому вершины $B$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $A C$ . Следовательно, вписанные углы $A B C$ и $A P C$ опираются на одну и ту же дугу $A C$ и потому равны:

$∠ A B C = ∠ A P C .$

Теперь выразим угол $A C H$ . В прямоугольном треугольнике $A C P$ углы $A$ и $P$ острые, поэтому основание $H$ высоты, проведённой из вершины прямого угла, лежит на гипотенузе $A P$ . Треугольник $C H P$ прямоугольный с прямым углом $H$ , и сумма его острых углов равна $9 0^{\circ}$ :

$∠ H C P = 9 0^{\circ} - ∠ H P C = 9 0^{\circ} - ∠ A P C .$

Луч $C H$ проходит внутри прямого угла $A C P$ , поэтому

$∠ A C H = ∠ A C P - ∠ H C P = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - ∠ A P C) = ∠ A P C .$

Итак, $∠ A B C = ∠ A P C = ∠ A C H$ . Оба угла острые: угол $A B C$ острый, потому что в треугольнике $A B C$ уже есть тупой угол $C$ . Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Точка $K$ лежит на высоте $C H$ , поэтому луч $C K$ совпадает с лучом $C H$ и по пункту а)

$∠ A C K = ∠ A C H = ∠ A B C .$

Рассмотрим треугольники $A C B$ и $A K C$ . Точка $K$ лежит на стороне $A B$ , поэтому угол $A$ у них общий: $∠ C A B = ∠ K A C$ . Кроме того, $∠ A B C = ∠ A C K$ . Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $A$ , вершине $B$ — вершина $C$ , вершине $C$ — вершина $K$ . Запишем отношение подобия:

$\frac{A C}{A K} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A C^{2} = A K \cdot A B .$

Так как $K$ лежит на отрезке $A B$ , то $A B = A K + K B = 6 + 18 = 24$ . Тогда

$A C^{2} = 6 \cdot 24 = 144 \Rightarrow A C = 12.$

Ответ: б) $12$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18