ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок.

По условию $\angle ABP=\angle ACP=90^{\circ }$. Из точек $B$ и $C$ отрезок $AP$ виден под прямым углом, поэтому обе точки лежат на окружности с диаметром $AP$, и четырёхугольник $ACBP$ вписанный.

Пусть отрезок $CP$ пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Точки $B$ и $X$ лежат по одну сторону от прямой $AC$ (обе на стороне $AB$), а точки $X$ и $P$ — тоже по одну сторону от неё (обе на луче $CP$). Значит, $B$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, и вписанные углы $ABC$ и $APC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$. Поэтому

$$\angle ABC=\angle APC.$$

Высота $CH$ прямоугольного треугольника $ACP$ проведена из вершины прямого угла, поэтому точка $H$ лежит на гипотенузе $AP$, а луч $CH$ проходит внутри прямого угла $ACP$:

$$\angle ACH=90^{\circ }-\angle HCP.$$

В прямоугольном треугольнике $CHP$ сумма острых углов равна $90^{\circ }$, поэтому $\angle HCP=90^{\circ }-\angle HPC=90^{\circ }-\angle APC$. Подставим:

$$\angle ACH=90^{\circ }-\left(90^{\circ }-\angle APC\right)=\angle APC=\angle ABC.$$

Оба угла острые: $\angle ABC$ — потому что в треугольнике $ABC$ уже есть тупой угол $C$, а $\angle ACH$ — часть прямого угла $ACP$. Что и требовалось доказать.

б) Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому $AB=AK+KB=5+15=20$.

Отрезок $CP$ пересекает прямую $AB$, поэтому точки $C$ и $P$ лежат по разные стороны от неё. Все точки отрезка $AP$, кроме $A$, лежат по ту же сторону, что и $P$, в том числе точка $H$. Значит, $C$ и $H$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, и точка $K$ находится на отрезке $CH$. Поэтому $\angle ACK=\angle ACH=\angle ABC$ по пункту а).

Рассмотрим треугольники $ACB$ и $AKC$. Угол $A$ у них общий, а $\angle ABC=\angle ACK$. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $B$ первого треугольника соответствует вершина $C$ второго, а вершине $C$ — вершина $K$. Запишем отношение соответственных сторон:

$$\frac{AC}{AK}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow A{C}^2=AK\cdot AB=5\cdot 20=100.$$

Отсюда $AC=10$.

Ответ: б) $10$.