ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: квадрат $ABCD$, вписанная окружность с центром $O$ касается $AB$ в точке $K$ и $AD$ в точке $E$. Точка $C$ лежит вне окружности, поэтому отрезки $CK$ и $CE$ пересекают окружность ещё в точках $M$ и $P$, лежащих между $C$ и $K$ и между $C$ и $E$ соответственно.

а) Центр окружности, вписанной в квадрат, — центр квадрата, а перпендикуляр из него на сторону попадает в её середину. Значит, точки касания $K$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AD$, и

$$BK=\frac{AB}{2}=\frac{AD}{2}=DE.$$

Прямоугольные треугольники $CBK$ и $CDE$ равны по двум катетам ($CB=CD$ как стороны квадрата, $BK=DE$), поэтому

$$CK=CE.$$

По теореме о секущих, проведённых из одной точки, произведение секущей на её внешнюю часть одно и то же для обеих секущих:

$$CM\cdot CK=CP\cdot CE.$$

Так как $CK=CE$, отсюда $CM=CP$, и

$$\frac{CM}{CK}=\frac{CP}{CE}.$$

У треугольников $CMP$ и $CKE$ общий угол $C$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия $△CMP\sim △CKE$, поэтому

$$\angle CMP=\angle CKE.$$

Это соответственные углы при прямых $MP$ и $KE$ и секущей $CK$. По признаку параллельности прямых $MP\parallel KE$, что и требовалось доказать.

б) Сторона квадрата равна $30$, поэтому радиус окружности $R=15$, а $AK=AE=BK=15$.

По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $AKE$ и $CBK$

$$KE=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2},CK=\sqrt{30^2+15^2}=\sqrt{1125}=15\sqrt{5}.$$

Треугольник $CEK$ равнобедренный ($CE=CK$). Пусть $F$ — середина основания $KE$; медиана $CF$ равнобедренного треугольника является и высотой. Из прямоугольного треугольника $CFK$

$$\cos \angle CKE=\frac{KF}{CK}=\frac{15\sqrt{2}/2}{15\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\sin \angle CKE=\sqrt{1-{\cos }^2\angle CKE}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Точки $E$, $K$, $M$ лежат на окружности радиуса $R=15$, то есть она описана около треугольника $EKM$. Точка $M$ лежит на отрезке $KC$, поэтому $\angle EKM=\angle EKC$. По теореме синусов для треугольника $EKM$

$$\frac{ME}{\sin \angle EKM}=2R\Rightarrow ME=2R\sin \angle EKM=30\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{90}{\sqrt{10}}=9\sqrt{10}.$$

Ответ: б) $9\sqrt{10}$.