ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Сделаем рисунок: трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и диагональ $AC$, которая делит её на треугольники $ABC$ и $ACD$.

Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, $AC$ — секущая, поэтому $\angle BCA=\angle CAD$ как накрест лежащие углы.

У подобных треугольников углы попарно равны. Одна пара углов треугольников $ABC$ и $ACD$ уже известна: $\angle BCA=\angle CAD$. Значит, оставшиеся углы $\angle ABC$ и $\angle BAC$ треугольника $ABC$ равны оставшимся углам $\angle ACD$ и $\angle ADC$ треугольника $ACD$ в каком-то порядке. Возможны два случая.

Пусть $\angle ABC=\angle ADC$. Тогда и $\angle BAC=\angle ACD$. Это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, поэтому $AB\parallel CD$. Но тогда у четырёхугольника $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны, и он параллелограмм, а не трапеция. Противоречие.

Значит, остаётся второй случай: $\angle ABC=\angle ACD$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $N$ — середина $BC$, $M$ — середина $AD$. Тогда

$$BN=NC=\frac{32}{2}=16,AM=MD=\frac{50}{2}=25.$$

Из пункта а) $\angle ABC=\angle DCA$, кроме того $\angle BCA=\angle CAD$. Значит, $△ABC\sim △DCA$ по двум углам, причём вершине $A$ соответствует $D$, вершине $B$ — $C$, вершине $C$ — $A$. Отношения соответствующих сторон равны:

$$\frac{BC}{CA}=\frac{CA}{AD}\Rightarrow A{C}^2=BC\cdot AD=32\cdot 50=1600\Rightarrow AC=40.$$

Точка $M$ лежит на основании $AD$, точка $N$ — на основании $BC$, а диагональ $AC$ разделяет эти основания, поэтому отрезок $MN$ пересекает диагональ $AC$. Обозначим точку пересечения $O$.

Рассмотрим треугольники $AOM$ и $CON$. В них $\angle OAM=\angle OCN$ как накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AC$, а $\angle AOM=\angle CON$ как вертикальные. Значит, $△AOM\sim △CON$ по двум углам с коэффициентом

$$\frac{AM}{CN}=\frac{25}{16},\text{поэтому}\frac{AO}{OC}=\frac{OM}{ON}=\frac{25}{16}.$$

Пусть $OC=16t$, тогда $AO=25t$ и $AC=41t=40$, откуда $t=\frac{40}{41}$ и

$$OC=\frac{16\cdot 40}{41}=\frac{640}{41}.$$

Угол $OCN$ — это угол $ACB$, а он равен углу $CAD$. Поэтому $\cos \angle OCN=\cos \angle CAD=\frac{4}{5}$. По теореме косинусов для треугольника $CON$:

$$O{N}^2=N{C}^2+O{C}^2-2\cdot NC\cdot OC\cdot \cos \angle OCN=16^2+{\left(\frac{16\cdot 40}{41}\right)}^2-2\cdot 16\cdot \frac{16\cdot 40}{41}\cdot \frac{4}{5}.$$

Вынесем $16^2$ за скобки и приведём к знаменателю $41^2$:

$$O{N}^2=16^2\cdot \frac{41^2+40^2-2\cdot 40\cdot 41\cdot \frac{4}{5}}{41^2}=16^2\cdot \frac{1681+1600-2624}{41^2}=16^2\cdot \frac{657}{41^2}.$$

Так как $657=9\cdot 73$, получаем

$$ON=\frac{16\cdot 3\sqrt{73}}{41}=\frac{48\sqrt{73}}{41}.$$

Из подобия треугольников $AOM$ и $CON$

$$OM=\frac{25}{16}\cdot ON=\frac{25}{16}\cdot \frac{48\sqrt{73}}{41}=\frac{75\sqrt{73}}{41}.$$

Тогда

$$MN=ON+OM=\frac{48\sqrt{73}}{41}+\frac{75\sqrt{73}}{41}=\frac{123\sqrt{73}}{41}=3\sqrt{73}.$$

Проверим ответ через высоту трапеции. Опустим перпендикуляр из $C$ на $AD$: высота равна $AC\cdot \sin \angle CAD=40\cdot \frac{3}{5}=24$, а проекция $AC$ на $AD$ равна $40\cdot \frac{4}{5}=32$. Проекция точки $N$ на прямую $AD$ отстоит от $A$ на $32-16=16$, а точка $M$ — на $25$. Поэтому $MN=\sqrt{(25-16{)}^2+24^2}=\sqrt{657}=3\sqrt{73}$.

Ответ: б) $3\sqrt{73}$.