Окружность проходит через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC и пересекает катет AC в точке K, гипотенузу AB — в точке… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2026 развёрнутое

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ прямоугольного треугольника $A B C$ и пересекает катет $A C$ в точке $K,$ гипотенузу $A B$ — в точке $M .$

а) Докажите, что треугольники $A K M$ и $A B C$ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника $C K M B,$ если радиус окружности равен $25,$ катеты $A C$ и $B C$ равны 12 и 4 соответственно.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Угол $C$ треугольника $A B C$ прямой, так как $A C$ и $B C$ — катеты. Точки $B$ , $C$ , $K$ , $M$ лежат на одной окружности, причём $K$ лежит на катете $A C$ , а $M$ — на гипотенузе $A B$ . Значит, четырёхугольник $C K M B$ вписан в эту окружность.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $18 0^{\circ}$ . Углы $K C B$ и $K M B$ противоположные, а $∠ K C B = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ , поэтому

$∠ K M B = 18 0^{\circ} - ∠ K C B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} .$

Точка $M$ лежит на отрезке $A B$ , поэтому углы $A M K$ и $K M B$ смежные:

$∠ A M K = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} .$

Сравним треугольники $A K M$ и $A B C$ . Угол $A$ у них общий: луч $A K$ совпадает с лучом $A C$ , а луч $A M$ — с лучом $A B$ . Кроме того, $∠ A M K = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ . По первому признаку подобия (по двум углам) треугольники подобны, причём вершине $K$ соответствует вершина $B$ , а вершине $M$ — вершина $C$ :

$△ A K M \sim △ A B C .$

Что и требовалось доказать.

б) Площадь четырёхугольника $C K M B$ найдём как сумму площадей треугольников $B C K$ и $B M K$ , на которые его делит диагональ $B K$ . Оба треугольника прямоугольные: $∠ B C K = 9 0^{\circ}$ по условию, $∠ B M K = 9 0^{\circ}$ по доказанному в пункте а).

Вписанный угол $B C K$ прямой, а вписанный прямой угол опирается на диаметр. Значит, $B K$ — диаметр окружности:

$B K = 2 R = 2 \cdot 25 = 45, B K^{2} = 80.$

По теореме Пифагора в треугольнике $B C K$ :

$C K^{2} = B K^{2} - B C^{2} = 80 - 16 = 64, C K = 8.$

Так как $C K = 8 < 12 = A C$ , точка $K$ действительно лежит на катете, и

$A K = A C - C K = 12 - 8 = 4.$

Гипотенузу $A B$ найдём по теореме Пифагора из треугольника $A B C$ :

$A B = A C^{2} + B C^{2} = 144 + 16 = 160 = 410 .$

Из подобия $△ A K M \sim △ A B C$ (пункт а) отношения соответственных сторон равны:

$\frac{M K}{B C} = \frac{A K}{A B} \Rightarrow M K = \frac{B C \cdot A K}{A B} = \frac{4 \cdot 4}{4 10} = \frac{4}{10} = \frac{2 10}{5} .$

Тогда $M K^{2} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$ . По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $B M K$ :

$B M^{2} = B K^{2} - M K^{2} = 80 - \frac{8}{5} = \frac{392}{5}, B M = \frac{392}{5} = \frac{14 2}{5} = \frac{14 10}{5} .$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S_{B C K} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C K = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16,$

$S_{B M K} = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot B M = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 10}{5} \cdot \frac{14 10}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{280}{25} = \frac{28}{5} .$

Складываем:

$S_{C K M B} = 16 + \frac{28}{5} = \frac{108}{5} .$

Проверим другим способом. Коэффициент подобия треугольников $A K M$ и $A B C$ равен $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{10}$ , а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента. Так как $S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$ , получаем $S_{A K M} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ и $S_{C K M B} = S_{A B C} - S_{A K M} = 24 - \frac{12}{5} = \frac{108}{5}$ — то же самое.

Ответ: б) $\frac{108}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18