ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Сделаем рисунок: ромб $ABCD$, на стороне $BC$ точка $M$, отрезки $DB$ и $DM$ равны, $BH$ — перпендикуляр из $B$ на прямую $DM$.

а) Пусть $BM=2x$, $MC=3x$, где $x>0$. Тогда $BC=BM+MC=5x$, и все стороны ромба равны $5x$, в частности $CD=5x$.

В треугольнике $BCD$ стороны $CB$ и $CD$ равны, поэтому он равнобедренный с основанием $BD$, и углы при основании равны: $\angle CBD=\angle CDB$. Обозначим их $\alpha$.

В треугольнике $BDM$ по условию $DB=DM$, поэтому он равнобедренный с основанием $BM$, и $\angle DBM=\angle DMB$. Точка $M$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $\angle DBM=\angle DBC=\alpha$. Значит, $\angle DMB=\alpha$.

Сравним треугольники $BCD$ и $BDM$: $\angle CBD=\angle DBM=\alpha$ и $\angle BDC=\angle BMD=\alpha$. По двум углам

$$△BCD\sim △BDM,$$

причём $B$ соответствует $B$, $C$ — вершине $D$, $D$ — вершине $M$. Из пропорциональности соответственных сторон

$$\frac{BC}{BD}=\frac{BD}{BM}\Rightarrow B{D}^2=BM\cdot BC=2x\cdot 5x=10x^2.$$

Запишем теорему косинусов для стороны $BD$ треугольника $BCD$:

$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos \angle BCD,$$

$$10x^2=25x^2+25x^2-50x^2\cos \angle BCD.$$

Разделим на $x^2\ne 0$:

$$10=50-50\cos \angle BCD\Rightarrow \cos \angle BCD=\frac{40}{50}=0,8.$$

Косинус положителен, поэтому угол $BCD$ острый. Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ }$, значит, соседние с $C$ углы тупые, а противоположный угол $A$ равен углу $C$. Итак, $\angle C$ — острый угол ромба, и его косинус равен $0,8$, что и требовалось доказать.

б) Окружность, описанная около четырёхугольника $ABPD$, проходит через точки $A$, $B$ и $D$. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность, поэтому это окружность, описанная около треугольника $ABD$. Её радиус не зависит от положения точки $P$, и достаточно найти радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABD$.

По условию $AB=5x=\sqrt{10}$, откуда $x=\frac{\sqrt{10}}{5}$. Из пункта а)

$$B{D}^2=10x^2=10\cdot \frac{10}{25}=4,BD=2.$$

Противоположные углы ромба равны: $\angle BAD=\angle BCD$, поэтому $\cos \angle BAD=0,8$. Угол $BAD$ острый, его синус положителен:

$$\sin \angle BAD=\sqrt{1-0,8^2}=\sqrt{0,36}=0,6.$$

По теореме синусов для треугольника $ABD$ сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R$:

$$\frac{BD}{\sin \angle BAD}=2R\Rightarrow R=\frac{BD}{2\sin \angle BAD}=\frac{2}{2\cdot 0,6}=\frac{5}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{5}{3}$.