ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Пусть окружность радиуса $r$ касается сторон $AD$, $AB$, $BC$ и $CD$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны:

$$AL=AK,BL=BM.$$

Покажем, что $K$ и $M$ — середины оснований. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов трапеции, а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Из прямоугольных треугольников $AOK$ и $DOK$

$$AK=OK\cdot \mathrm{ctg}\angle OAK=r\mathrm{ctg}\frac{\angle A}{2},DK=r\mathrm{ctg}\frac{\angle D}{2}.$$

Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle A=\angle D$ и $AK=DK$. Точно так же из $\angle B=\angle C$ получаем $BM=CM$.

Радиусы $OM$ и $OK$ перпендикулярны параллельным прямым $BC$ и $AD$, поэтому точки $M$, $O$, $K$ лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям. Высота $CH$ тоже перпендикулярна основаниям, значит, $CMKH$ — прямоугольник, и $KH=CM$. Точка $H$ лежит на отрезке $KD$, так как $C$ и $D$ находятся по одну сторону от прямой $MK$. Получаем

$$AH=AK+KH=AK+CM=AL+BM=AL+LB=AB.$$

Что и требовалось доказать.

б) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому

$$AD+BC=2\cdot 4\sqrt{5}=8\sqrt{5}.$$

В трапецию вписана окружность, значит, суммы её противоположных сторон равны: $AB+CD=AD+BC=8\sqrt{5}$. Так как $AB=CD$, то $AB=CD=4\sqrt{5}$.

Центр $O$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $D$, поэтому $\angle OAD=\frac{\angle A}{2}$ и $\angle ODA=\frac{\angle D}{2}$. Углы $A$ и $D$ равны, значит, треугольник $AOD$ равнобедренный, и его углы при основании

$$\angle OAD=\angle ODA=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }.$$

Отсюда $\angle CDA=2\cdot 15^{\circ }=30^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $CH$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

$$CH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}=2\sqrt{5}.$$

По пункту а) $AH=AB=4\sqrt{5}$. Из прямоугольного треугольника $ACH$ по теореме Пифагора

$$AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{80+20}=\sqrt{100}=10.$$

Ответ: б) $10$.