ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

а) Обозначим углы треугольника $ABC$: $\angle BAC=x$, $\angle BCA=\phi$, $\angle ABC=\beta$, а у треугольника $ACD$ — $\angle ACD=y$, $\angle ADC=\delta$.

Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD$, а $AC$ — секущая. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому

$$\angle CAD=\angle BCA=\phi .$$

Треугольники $ABC$ и $ACD$ подобны, значит, углы одного треугольника равны углам другого, то есть набор углов $\{x;\phi ;\beta \}$ совпадает с набором $\{\phi ;y;\delta \}$. В обоих наборах есть угол $\phi$. Уберём его из каждого — оставшиеся пары углов тоже совпадают: $\{x;\beta \}=\{y;\delta \}$. Возможны два случая.

Случай 1: $x=y$, то есть $\angle BAC=\angle ACD$. Это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, поэтому по признаку параллельности прямых $AB\parallel CD$. Тогда у четырёхугольника $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны, он параллелограмм, и его противоположные стороны равны: $AD=BC$. Это противоречит условию $AD>BC$, значит, такой случай невозможен.

Случай 2: $x=\delta$ и $\beta =y$. Тогда

$$\angle ABC=\angle ACD,$$

что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) у треугольников $BCA$ и $CAD$ попарно равны углы:

$$\angle ABC=\angle ACD,\angle BCA=\angle CAD,\angle BAC=\angle CDA.$$

Значит, $△BCA\sim △CAD$, причём вершина $B$ соответствует $C$, вершина $C$ — вершине $A$, вершина $A$ — вершине $D$. Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:

$$\frac{BC}{CA}=\frac{CA}{AD}\Rightarrow A{C}^2=BC\cdot AD=18\cdot 50=900,AC=30.$$

Пусть $M$ и $N$ — середины оснований $BC$ и $AD$, а $CP$ и $MQ$ — перпендикуляры, опущенные на $AD$ (высоты трапеции). Нужно найти $MN$.

Так как $\cos \angle CAD=\frac{3}{5}>0$, угол $CAD$ острый, и

$$\sin \angle CAD=\sqrt{1-{\cos }^2\angle CAD}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

В прямоугольном треугольнике $ACP$ катеты выражаются через гипотенузу и косинус и синус прилежащего угла:

$$AP=AC\cdot \cos \angle CAD=30\cdot \frac{3}{5}=18,CP=AC\cdot \sin \angle CAD=30\cdot \frac{4}{5}=24.$$

Угол $CAD$ острый и $AP=18<AD$, поэтому точка $P$ лежит на основании $AD$.

Четырёхугольник $MCPQ$ — прямоугольник: $MC\parallel QP$, а $MQ$ и $CP$ перпендикулярны $AD$. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому

$$MQ=CP=24,QP=MC=\frac{BC}{2}=9.$$

Отсюда $AQ=AP-QP=18-9=9$. Так как $N$ — середина $AD$, $AN=\frac{50}{2}=25$, и

$$QN=AN-AQ=25-9=16.$$

Треугольник $MQN$ прямоугольный с прямым углом $Q$. По теореме Пифагора

$$MN=\sqrt{M{Q}^2+Q{N}^2}=\sqrt{24^2+16^2}=\sqrt{576+256}=\sqrt{832}=\sqrt{64\cdot 13}=8\sqrt{13}.$$

Ответ: б) $8\sqrt{13}$.