В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2026 развёрнутое

В прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R .$ К этой окружности параллельно прямой $A B$ проведена касательная, которая пересекает стороны $B C$ и $A C$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $C D E$ вписана окружность с центром в точке $O_{1}$ и радиусом $r .$ Прямые $O O_{1}$ и $A B$ пересекаются в точке $P .$

а) Докажите, что $A P : P B = cos ∠ A C B .$

б) Найдите площадь треугольника $A B C,$ если $R = 5,$ $r = 3.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $α = ∠ A C B$ . Окружность с центром $O$ вписана в треугольник $A B C$ , поэтому касается сторон $C A$ и $C B$ угла $A C B$ . Окружность с центром $O_{1}$ вписана в треугольник $C D E$ , где $D \in C B$ , $E \in C A$ , поэтому тоже касается сторон угла $A C B$ . Центр окружности, касающейся сторон угла, равноудалён от этих сторон и лежит на биссектрисе угла. Значит, $O$ и $O_{1}$ лежат на биссектрисе угла $C$ , и прямая $O O_{1}$ — это биссектриса.

Тогда $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $A B$ , то есть $C P$ — биссектриса треугольника $A B C$ . По свойству биссектрисы

$\frac{A P}{P B} = \frac{A C}{B C} .$

В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $A$ косинус острого угла $C$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $cos α = \frac{A C}{B C}$ . Поэтому $A P : P B = cos ∠ A C B$ . Что и требовалось доказать.

б) Прямая $D E$ параллельна $A B$ , а $A B ⊥ A C$ , поэтому $D E ⊥ A C$ : $∠ A E D = ∠ D E C = 9 0^{\circ}$ .

Пусть $K$ и $K_{1}$ — точки касания окружностей с центрами $O$ и $O_{1}$ со стороной $A C$ . Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной: $O K ⊥ A C$ , $O_{1} K_{1} ⊥ A C$ .

Окружность с центром $O$ касается параллельных прямых $A B$ и $D E$ , поэтому лежит между ними. Она вписана в угол $A$ и в угол $A E D$ , оба угла прямые. Четырёхугольник, образованный вершиной прямого угла, центром и двумя точками касания, — квадрат со стороной $R$ : у него три прямых угла и равные соседние стороны-радиусы. Поэтому

$A K = R = 5, K E = R = 5.$

Точно так же окружность с центром $O_{1}$ вписана в прямоугольный треугольник $C D E$ с прямым углом $E$ , поэтому $E K_{1} = r = 3$ .

Обозначим $C K_{1} = x$ . Тогда

$C K = C K_{1} + K_{1} E + E K = x + 3 + 5 = x + 8.$

Центры $O$ и $O_{1}$ лежат на биссектрисе угла $C$ , поэтому прямоугольные треугольники $O K C$ и $O_{1} K_{1} C$ имеют общий острый угол $\frac{α}{2}$ при вершине $C$ и подобны по двум углам. Запишем отношение сходственных сторон:

$\frac{O K}{O _{1} K _{1}} = \frac{C K}{C K _{1}} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{x + 8}{x} \Rightarrow 5 x = 3 x + 24 \Rightarrow x = 12.$

Из прямоугольного треугольника $O_{1} K_{1} C$ :

$tg \frac{α}{2} = \frac{O _{1} K _{1}}{C K _{1}} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} .$

По формуле тангенса двойного угла

$tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - tg ^{2} \frac{α}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{8}{15} .$

Найдём катет $A C$ :

$A C = A K + K C = 5 + (12 + 8) = 25.$

В прямоугольном треугольнике $A B C$ тангенс угла $C$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$A B = A C \cdot tg α = 25 \cdot \frac{8}{15} = \frac{40}{3} .$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot \frac{40}{3} \cdot 25 = \frac{500}{3} .$

Проверим радиус по формуле для прямоугольного треугольника $R = \frac{A B + A C - B C}{2}$ . Гипотенуза $B C = 2 5^{2} + (\frac{40}{3})^{2} = \frac{7225}{9} = \frac{85}{3}$ , и

$\frac{\frac{40}{3} + 25 - \frac{85}{3}}{2} = \frac{25 - 15}{2} = 5.$

Ответ: б) $\frac{500}{3}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18