ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Разбор — 3 балла

Основания трапеции — $BC$ и $AD$, то есть $BC\parallel AD$.

а) Продлим отрезок $AE$ за точку $E$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $F$.

Рассмотрим треугольники $AED$ и $FEC$:

• $DE=EC$, так как $E$ — середина $CD$;
• $\angle AED=\angle FEC$ как вертикальные;
• $\angle EDA=\angle ECF$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $CF$ и секущей $CD$.

Значит, треугольники $AED$ и $FEC$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $AE=EF$ и $AD=CF$; точка $F$ лежит на продолжении основания $BC$ за точку $C$.

Треугольники $BCO$ и $BFE$: угол $CBO$ общий, $\angle BCO=\angle BFE$ как соответственные при параллельных прямых $OC$ и $EF$ и секущей $BF$. Значит, они подобны по двум углам, и

$$\frac{OC}{EF}=\frac{BO}{BE}.$$

Треугольники $BKO$ и $BAE$: угол $KBO$ общий, $\angle BKO=\angle BAE$ как соответственные при параллельных прямых $KO$ и $AE$ и секущей $AB$. Они тоже подобны по двум углам, и

$$\frac{KO}{AE}=\frac{BO}{BE}.$$

Правые части совпадают, значит, $\frac{OC}{EF}=\frac{KO}{AE}$. Так как $AE=EF$, получаем $KO=OC$. Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $AED$ и $FEC$ равны, поэтому $S_{AED}=S_{FEC}$. Отрезок $AE$ делит трапецию на четырёхугольник $ABCE$ и треугольник $AED$, а треугольник $BAF$ состоит из того же четырёхугольника $ABCE$ и треугольника $FEC$. Значит,

$$S_{ABCD}=S_{ABCE}+S_{AED}=S_{ABCE}+S_{FEC}=S_{BAF}.$$

Треугольники $BCK$ и $BFA$ подобны по двум углам: угол $KBC$ общий, $\angle BCK=\angle BFA$ как соответственные при $KC\parallel AF$ и секущей $BF$. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия $k$:

$$k^2=\frac{S_{BCK}}{S_{BFA}}=\frac{S_{BCK}}{S_{ABCD}}=\frac{4}{49},k=\frac{2}{7}.$$

Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон $\frac{BC}{BF}$. По пункту а) $CF=AD=15$, поэтому $BF=BC+CF=BC+15$. Получаем уравнение

$$\frac{BC}{BC+15}=\frac{2}{7},7BC=2BC+30,5BC=30,BC=6.$$

Проверка: при $BC=6$ и $AD=15$ коэффициент подобия равен $\frac{6}{6+15}=\frac{2}{7}$, а отношение площадей — $\frac{4}{49}$, как и в условии.

Ответ: б) $6$.