ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — трапеции

Задача из открытого банка ФИПИ с подробным решением. Реши на бумаге и сверься с разбором.

3 балла на ЕГЭ 2 часть экзамена

№18 Трапеции средняя 2026 развёрнутое

В трапеции $A B C D$ проведена биссектриса угла $B A D$ , которая пересекает боковую сторону $C D$ в точке $M$ и делит эту сторону пополам.

а) Докажите, что треугольник $A B M$ прямоугольный.

б) Найдите $A M$ , если средняя линия трапеции равна $12, 5$ , а $B M = 7.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Трапеция ABCD, биссектриса AM, средняя линия NM

а) Точка $M$ лежит на боковой стороне $C D$ , значит, основания трапеции — $A D$ и $B C$ , а $A B$ — вторая боковая сторона. Пусть $N$ — середина $A B$ . Отрезок $M N$ соединяет середины боковых сторон, то есть это средняя линия трапеции. По свойству средней линии $M N ∥ A D$ и $M N = \frac{A D + B C}{2}$ .

Углы $A M N$ и $M A D$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $M N$ и $A D$ и секущей $A M$ . Углы $M A N$ и $M A D$ равны, так как $A M$ — биссектриса угла $B A D$ . Значит,

$∠ A M N = ∠ M A D = ∠ M A N .$

В треугольнике $A M N$ два угла равны, поэтому он равнобедренный: $N M = N A$ . А так как $N$ — середина $A B$ , то

$N M = N A = N B = \frac{A B}{2} .$

Получается, что медиана $M N$ треугольника $A B M$ равна половине стороны $A B$ , к которой она проведена. Точки $A$ , $B$ , $M$ равноудалены от $N$ , то есть лежат на окружности с центром $N$ и диаметром $A B$ . Вписанный угол $A M B$ опирается на диаметр, поэтому $∠ A M B = 9 0^{\circ}$ , и треугольник $A B M$ прямоугольный. Что и требовалось доказать.

б) Средняя линия $M N = 12, 5$ , и по пункту а) $A B = 2 M N = 25$ .

Рисунок к решению

Треугольник $A B M$ прямоугольный с гипотенузой $A B$ . По теореме Пифагора

$A M = A B^{2} - B M^{2} = 2 5^{2} - 7^{2} = 625 - 49 = 576 = 24.$

Ответ: б) $24$ .

Ещё задания №18

18-003P, сложная

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причем меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $B C$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M,$ отличной от точки $A .$ Лучи $A O$ и $A M$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $A Q$ большей окружности, не содержащей точку $P .$

а) Докажите, что прямые $P Q$ и $B C$ параллельны.

б) Известно, что $sin ∠ A O C = \frac{1}{4} 15,$ прямые $P C$ и $A Q$ пересекаются в точке $K .$ Найдите $Q K : K A .$

18-04FY, средняя

Дан равнобедренный треугольник $A B C .$ Окружность с центром $O$ на основании $B C$ касается боковых сторон $A B$ и $A C .$ Касательная к этой окружности пересекает стороны $A B$ и $A C$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $O M$ и $O N$ разбивают четырёхугольник $B M N C$ на три подобных треугольника.

б) Найдите длину отрезка $A M,$ если треугольник $A B C$ равносторонний, $A B = 20$ и $A N : N C = 2 : 3.$

18-079B, средняя

В тупоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ тупой. Точка $P$ лежит вне треугольника $A B C$ . $B P$ и $C P$ — перпендикуляры к сторонам $A B$ и $A C$ соответственно, причём $C P$ пересекает сторону $A B$ . Высота $C H$ треугольника $A C P$ пересекает отрезок $A B$ в точке $K$ .

а) Докажите, что острые углы $A B C$ и $A C H$ равны.

б) Найдите длину стороны $A C$ , если $A K = 6$ , $B K = 18$ .

Как решать №18 Решать дальше №18