ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон, поэтому лежит на биссектрисе угла. Значит, $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Поэтому треугольник $ANB$ равнобедренный, и его биссектриса $NO$, проведённая к основанию $AB$, является высотой: $NO\perp AB$.

Отрезок $BC$ — диаметр, а точка $A$ лежит на окружности, поэтому вписанный угол $BAC$ опирается на диаметр и равен $90^{\circ }$: $AC\perp AB$.

Прямые $NO$ и $AC$ перпендикулярны одной прямой $AB$, значит, они параллельны. Итак, прямая $AC$ параллельна биссектрисе $NO$ угла $ANB$. Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle BAC=90^{\circ }$) по теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{24^2+32^2}=\sqrt{576+1024}=\sqrt{1600}=40.$$

$O$ — центр окружности, поэтому радиус

$$AO=BO=CO=\frac{BC}{2}=20.$$

Рассмотрим четырёхугольник $ANBO$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OAN=\angle OBN=90^{\circ }$. Сумма противоположных углов $A$ и $B$ равна $180^{\circ }$, значит, около $ANBO$ можно описать окружность. Вписанные в неё углы $ANO$ и $ABO$ опираются на одну хорду $AO$ (точки $N$ и $B$ лежат по одну сторону от неё), поэтому

$$\angle ANO=\angle ABO=\angle ABC.$$

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC$. В них $\angle NAO=90^{\circ }=\angle BAC$ и $\angle ANO=\angle ABC$, поэтому они подобны по двум углам; вершине $N$ соответствует $B$, вершине $O$ — вершина $C$. Запишем отношение сторон:

$$\frac{NO}{BC}=\frac{AO}{AC}=\frac{AN}{AB}.$$

Из первого равенства

$$NO=\frac{AO\cdot BC}{AC}=\frac{20\cdot 40}{24}=\frac{100}{3}.$$

Ответ: б) $\frac{100}{3}$.