ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB=BC$, основание $AC$. Углы при основании равнобедренного треугольника острые, поэтому тупой угол — $B$. Обозначим $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Так как угол $B$ тупой, основание $H$ высоты $AH$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$.

а) Треугольник $AHB$ прямоугольный с прямым углом $H$, и $HK$ — его высота к гипотенузе $AB$, поэтому точка $K$ лежит на отрезке $AB$. Аналогично в прямоугольном треугольнике $AHC$ высота $HM$ падает на гипотенузу $AC$, и $M$ лежит на отрезке $AC$.

Углы $AKH$ и $AMH$ прямые и опираются на отрезок $AH$. Значит, точки $K$ и $M$ лежат на окружности с диаметром $AH$, то есть четырёхугольник $AKHM$ вписан в окружность.

Точки $K$ и $H$ лежат по одну сторону от прямой $AC$ (там же, где $B$). Вписанные углы $AKM$ и $AHM$ опираются на одну дугу $AM$, поэтому

$$\angle AKM=\angle AHM.$$

В прямоугольных треугольниках $AHM$ и $AHC$ угол при вершине $A$ общий, поэтому равны и вторые острые углы:

$$\angle AHM=90^{\circ }-\angle HAC=\angle ACH=\alpha .$$

Здесь $\angle ACH=\angle ACB=\alpha$, так как луч $CH$ совпадает с лучом $CB$.

Точка $K$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $\angle KAM=\angle BAC=\alpha$. Итак, в треугольнике $AKM$

$$\angle KAM=\angle AKM=\alpha ,$$

он равнобедренный с основанием $AK$, и $AM=MK$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $AB=BC=3$, $AC=5$. Проведём высоту $BT$ треугольника $ABC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому $CT=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BCT$

$$\cos \alpha =\frac{CT}{BC}=\frac{5/2}{3}=\frac{5}{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $AHC$ (прямой угол $H$) катет $HC$ прилежит к углу $\alpha$:

$$HC=AC\cdot \cos \alpha =5\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $HMC$ (прямой угол $M$) катет $MC$ прилежит к тому же углу $\alpha$:

$$MC=HC\cdot \cos \alpha =\frac{25}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{36}.$$

Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, поэтому

$$AM=AC-MC=5-\frac{125}{36}=\frac{180-125}{36}=\frac{55}{36}.$$

По пункту а) $MK=AM=\frac{55}{36}$.

Ответ: б) $\frac{55}{36}$.