ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

Обозначим $\angle CAD=\alpha$, тогда $\angle BAC=2\alpha$. Биссектриса $AL$ делит угол $BAC$ пополам: $\angle BAL=\angle LAC=\alpha$.

а) Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны:

$$\angle BCA=\angle CAD=\alpha .$$

Рассмотрим треугольники $ABL$ и $CBA$. Угол $B$ у них общий, а $\angle BAL=\alpha =\angle BCA$. Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $A$ треугольника $ABL$ соответствует вершина $C$ треугольника $CBA$, а вершине $L$ — вершина $A$. Из подобия

$$\frac{AL}{CA}=\frac{AB}{CB},$$

то есть $AL:AC=AB:BC$. Что и требовалось доказать.

б) В треугольнике $ALC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle LAC=\alpha$ и $\angle LCA=\angle BCA=\alpha$. Значит, он равнобедренный и $LA=LC$. По условию и $EA=EC$.

Точки $L$ и $E$ равноудалены от концов отрезка $AC$, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к $AC$. Значит, прямая $LE$ — серединный перпендикуляр к $AC$. Пусть $F$ — точка пересечения $LE$ и $AC$. Тогда $F$ — середина $AC$ и $LE\perp AC$:

$$FC=\frac{AC}{2}=\frac{21}{2}.$$

Точка $L$ лежит на стороне $BC$, то есть по ту же сторону от прямой $AC$, что и $B$, а точка $E$ — на продолжении $CD$, по ту же сторону, что и $D$. Вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому $F$ лежит между $L$ и $E$, и $EL=LF+FE$.

Найдём $LF$ из прямоугольного треугольника $LFC$. По условию $\mathrm{tg}\angle LCF=\mathrm{tg}\alpha =0,4=\frac{2}{5}$:

$$LF=FC\cdot \mathrm{tg}\alpha =\frac{21}{2}\cdot \frac{2}{5}=\frac{21}{5}=4,2.$$

Найдём угол $ECF$. Луч $CE$ совпадает с лучом $CD$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, $AC$ — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны:

$$\angle ECF=\angle DCA=\angle BAC=2\alpha .$$

По формуле тангенса двойного угла

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\cdot \frac{2}{5}}{1-\frac{4}{25}}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{21}{25}}=\frac{20}{21}.$$

Из прямоугольного треугольника $EFC$:

$$EF=FC\cdot \mathrm{tg}2\alpha =\frac{21}{2}\cdot \frac{20}{21}=10.$$

Тогда

$$EL=LF+FE=4,2+10=14,2.$$

Ответ: б) $14,2$.