ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

Пусть сторона квадрата равна $a$. Центр окружности, вписанной в квадрат, совпадает с центром квадрата, а перпендикуляры из центра на стороны попадают в их середины. Поэтому точки касания $K$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $AD$.

а) Прямоугольные треугольники $CBK$ и $CDE$ равны по двум катетам: $CB=CD$ (стороны квадрата) и $BK=\frac{AB}{2}=\frac{AD}{2}=DE$. Значит,

$$CK=CE.$$

Точка $C$ лежит вне окружности. Прямая $CK$ пересекает окружность в точках $M$ и $K$, прямая $CE$ — в точках $P$ и $E$. По теореме о секущих произведение секущей на её внешнюю часть одинаково для всех секущих из одной точки:

$$CM\cdot CK=CP\cdot CE.$$

Так как $CK=CE$, получаем $CM=CP$, и

$$\frac{CM}{CK}=\frac{CP}{CE}.$$

Треугольники $CMP$ и $CKE$ имеют общий угол $C$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. Значит, они подобны, и $\angle CMP=\angle CKE$. Это соответственные углы при прямых $MP$, $KE$ и секущей $CK$, поэтому $MP\parallel KE$. Что и требовалось доказать.

б) Сторона квадрата $a=10$, радиус вписанной окружности $R=\frac{a}{2}=5$, $AK=AE=BK=5$.

В прямоугольном треугольнике $AKE$ по теореме Пифагора

$$KE=\sqrt{A{K}^2+A{E}^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $CBK$:

$$CK=\sqrt{B{C}^2+B{K}^2}=\sqrt{100+25}=5\sqrt{5}.$$

Треугольник $CKE$ равнобедренный ($CK=CE$). Пусть $Q$ — середина основания $KE$; медиана $CQ$ является и высотой. Из прямоугольного треугольника $CQK$:

$$\cos \angle CKE=\frac{KQ}{CK}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

По основному тригонометрическому тождеству (угол острый)

$$\sin \angle CKE=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Точки $E$, $K$, $M$ лежат на данной окружности радиуса $R=5$, то есть она описана около треугольника $EKM$. Точка $M$ лежит на отрезке $KC$, поэтому $\angle EKM=\angle EKC$. По теореме синусов в треугольнике $EKM$:

$$\frac{ME}{\sin \angle EKM}=2R\Rightarrow ME=2R\cdot \sin \angle EKC=10\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=3\sqrt{10}.$$

Ответ: б) $3\sqrt{10}$.