ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $\angle CAD=\alpha$. По условию $\angle BAC=2\alpha$, а $AL$ — биссектриса этого угла, поэтому

$$\angle BAL=\angle LAC=\alpha .$$

Углы $BCA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$: $\angle BCA=\alpha$.

Рассмотрим треугольники $ABL$ и $CBA$. Угол $B$ у них общий, а $\angle BAL=\angle BCA=\alpha$. Значит, треугольники подобны по двум углам, причём вершине $A$ первого треугольника соответствует вершина $C$ второго, а вершине $L$ — вершина $A$. Запишем отношение соответственных сторон:

$$\frac{AB}{CB}=\frac{AL}{CA}\Rightarrow \frac{AB}{AL}=\frac{BC}{AC}.$$

Что и требовалось доказать.

б) В треугольнике $ALC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle LAC=\alpha =\angle LCA$. Значит, он равнобедренный и $LA=LC$. По условию $EA=EC$. Точки $L$ и $E$ равноудалены от концов отрезка $AC$, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к $AC$. Пусть $O$ — середина $AC$. Тогда прямая $LE$ проходит через $O$ и $LO\perp AC$, $EO\perp AC$.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$, то есть по ту же сторону от диагонали $AC$, что и вершина $B$. Точка $E$ лежит на продолжении $CD$ за точку $D$, то есть по ту же сторону, что и $D$. Вершины $B$ и $D$ параллелограмма лежат по разные стороны от диагонали $AC$, поэтому точка $O$ лежит между $L$ и $E$, и

$$EL=LO+OE.$$

По условию $AC=24$, поэтому $AO=12$, и $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\angle BCA=0,6$.

В прямоугольном треугольнике $AOL$ катет $LO$ лежит против угла $LAO=\alpha$:

$$LO=AO\cdot \mathrm{tg}\alpha =12\cdot 0,6=7,2.$$

Найдём углы треугольника $AEC$. Точка $E$ лежит на луче $CD$, поэтому $\angle ACE=\angle ACD$. Углы $ACD$ и $BAC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$:

$$\angle ACE=\angle BAC=2\alpha .$$

Треугольник $AEC$ равнобедренный ($EA=EC$), углы при основании равны: $\angle EAC=\angle ECA=2\alpha$. Так как $\mathrm{tg}\alpha =0,6<1$, то $\alpha <45^{\circ }$ и $2\alpha <90^{\circ }$. По формуле тангенса двойного угла

$$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\cdot 0,6}{1-0,36}=\frac{1,2}{0,64}=\frac{15}{8}.$$

В прямоугольном треугольнике $AOE$:

$$OE=AO\cdot \mathrm{tg}2\alpha =12\cdot \frac{15}{8}=22,5.$$

Тогда

$$EL=LO+OE=7,2+22,5=29,7.$$

Ответ: б) $29,7$.